7. Estimation ponctuelle 141
7.17
1. Calculer la borne de Cram´ er-Rao pour la variance d’un estimateur sans
biais du param` etre λ d’une loi de Poisson P(λ).
2. Pour estimer λ, on utilise ¯
X. S’agit-il d’un « bon » estimateur?
7.18
Dans le cas d’une loi normale de param` etres (µ, σ
2 ), σ
2 ´ etant connu, X est
utilis´ e pour estimer µ. Atteint-il la borne de Cram´ er-Rao?
M´ ethodes d’estimation
7.19
Soient X 1 , . . . ,X n des variables al´ eatoires ind´ ependantes avec densit´ e
f θ (x) =
1
2 (1 + θx) −1 ≤ x ≤ 1
0
s i n o n .
1. Calculer l’estimateur des moments ˆ
θ M de θ.
2. Calculer le biais et la variance de ˆ
θ M .
3. Pour ´ etudier les propri´ et´ es statistiques de ˆ
θ M , on effectue une simulation
d’´ echantillonnage. On g´ en` ere 1 000 ´ echantillons de taille n = 10 suivant la
loi f θ (x), o` u θ = 1, et on calcule pour chaque ´ echantillon la valeur observ´ ee
de l’estimateur ˆ
θ M . Quel est en moyenne le nombre d’´ echantillons o` u la
valeur observ´ ee de l’estimateur est sup´ erieure `
a la valeur du param` etre
θ = 1?
7.20
Soit X 1 , . . . , X n un ´ echantillon al´ eatoire provenant d’une distribution g´ eom´ etrique qui s’´ ecrit
P (X = x) = (1 − p)
x−1 p, x = 1, 2, 3, . . .
1. Trouver l’estimateur du maximum de vraisemblance de p.
2. Trouver l’estimateur des moments de p.