140 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Montrer que si θ appartient `
a un support compact
J(θ) = −E
∂
2
∂θ 2 log(f θ (x))
.
Indication : E(
∂
∂θ log(f θ (x))) =
[
∂
∂θ log(f θ (x))]f θ (x)dx = 0.
7.14
Soient Y 1 , . . . , Y n des variables al´ eatoires ind´ ependantes distribu´ ees selon la
loi F θ dont la densit´ e est f θ et θ appartient `
a un support compact. On notera
J(θ) l’information de Fisher
J(θ) = E
∂
∂θ
log(f θ (Y ))
2
= −E
∂
2
∂θ 2 log(f θ (Y ))
.
D´ efinissons g θ (y 1 , . . . , y n ) = f θ (y 1 ) · f θ (y 2 ) · . . . · f θ (y n ), la densit´ e conjointe de
(Y 1 , . . . , Y n ).
1. Calculer l’information de Fisher
J(θ) par rapport `
a g θ (y 1 , . . . ,y n ).
2. Montrer que
J(θ) = nJ(θ).
7.15
1. Calculer l’information de Fisher J(p) et d´ eduire la borne de Cram´ er-Rao
pour des estimateurs non biais´ es lorsque X 1 , . . . , X n sont tels que
X i =
1 avec probabilit´ e p
0 avec probabilit´ e q = 1 − p.
Donner un estimateur de p qui atteint cette borne.
2. Calculer J(σ
2 ) et la borne de Cram´ er-Rao lorsque X 1 , . . . , X n suivent
une loi N (0, σ
2 ).
Indication : utiliser la formule d´ emontr´ ee ` a l’exercice 7.13.
7.16
Calculer la borne de Cram´ er-Rao pour X 1 , . . . , X n provenant d’une loi de
Pareto avec densit´ e
f θ (x) =
c
θ θx
−(1+θ) x > c
0
s i n o n ,
avec θ > 1 et c > 0.