7. Estimation ponctuelle 139
et X i = 0 sinon.
1. Un estimateur na¨ ıf de p est ˆ
p 1 =
1
n
n
i=1 X i . L’estimateur ˆ
p 1 est-il sans
biais? Donner l’erreur carr´ ee moyenne ECM(ˆ p 1 , p 1 ).
2. Un estimateur alternatif de p est donn´ e par ˆ
p 2 =
nˆ p 1 + 1
n + 2
. L’estimateur
ˆ
p 2 est-il sans biais? Calculer l’erreur carr´ ee moyenne ECM(ˆ p 2 , p 2 ).
3. Comparer ECM(ˆ p 1 , p 1 ) et ECM(ˆ p 2 , p 2 ) pour les valeurs suivantes de p :
0, 1/8, 1/4 et 1/2.
7.11
Soient X 1 , . . . , X n n variables al´ eatoires ind´ ependantes, telles que E(X i ) =
µ et var(X i ) = σ
2 pour i = 1, . . . ,n.
1. Montrer que ¯
X est un estimateur sans biais pour µ.
2. Montrer que ¯
X
2 n’est pas un estimateur sans biais de µ
2 . D´ eterminer son
biais.
3. D´ eterminer k tel que ¯
X
2
− ks
2 soit un estimateur sans biais de µ
2 , o` u
s
2 =
1
n−1
n
i=1 (X i − ¯
X)
2 .
7.12
Soient Y 1 , . . . , Y n ind´ ependants et identiquement distribu´ es selon la loi Bernoulli(p), c’est-` a-dire
Y i =
1 avec probabilit´ e p
0 avec probabilit´ e 1 − p.
On d´ esire estimer var(Y i ) c’est-` a-dire θ = p(1 − p). Pour ce faire, on propose
de s’inspirer de l’estimateur ˆ
p = ¯
Y de p et de consid´ erer ˆ
θ = ¯
Y (1 − ¯
Y ).
1. Calculer le biais de cet estimateur.
2. Comment proposez-vous de corriger ce biais?
Information de Fisher et borne de Cram´ er-Rao
7.13
On d´ efinit l’information de Fisher pour un param` etre θ par
J(θ) = E
∂
∂θ
log(f θ (x))
2
.