138 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
de personnes favorables. Dans le 2
e ´ echantillon la proportion est P 2 =
240/1000 = 24 %. Pour avoir une estimation globale, on prend simplement la moyenne P
∗ = 27 %. Quelle est la variance (estim´ ee) de cet
estimateur?
2. Le 1
er sondage est clairement moins fiable que le 2
e . On propose alors de
ne pas le consid´ erer et d’utiliser l’estimateur P 2 = 24 %. Quelle est la
variance (estim´ ee) de cet estimateur?
3. Le meilleur estimateur est celui qui donne le mˆ eme poids ` a chaque observation (et non pas `
a chaque ´ echantillon). Ceci veut dire qu’on prend
l’estimation P = (60 + 240)/(200 + 1 000) = 25 %. Quelle est la variance
(estim´ ee) de cet estimateur?
4. Donner les efficacit´ es des estimateurs consid´ er´ es ci-dessus (par rapport
au meilleur).
5. Vrai ou faux?
Il est important de connaˆ ıtre la fiabilit´ e des sources des observations. Par
exemple, si on donne trop de poids `
a l’information provenant de sources
non fiables, on peut perturber toute l’estimation.
7.8
La moyenne ¯
X d’un ´ echantillon de taille n est utilis´ ee pour estimer la
moyenne µ de la population. On d´ esire d´ eterminer n de sorte que l’erreur absolue | ¯
X − µ | soit au plus ´ egale `
a un nombre fix´ e d avec une grande probabilit´ e
1 − α (α donn´ e). Soit un ´ echantillon X 1 , . . . , X n issu d’une loi N (µ, 4).
1. Existe-t-il pour tout α un tel n?
2. Trouver n si α = 0,05 et d = 1.
3. ´
Etablir un graphe de n en fonction de 1−α (α ≤ 0,1) en conservant d = 1.
7.9
Le rayon R d’un cercle est mesur´ e avec une erreur de mesure distribu´ ee
selon une loi N (0, σ
2 ), σ inconnu.
Trouver un estimateur non biais´ e pour la surface S du cercle ´ etant donn´ e que
l’on dispose de n mesures ind´ ependantes du rayon.
Rappel : S = πR
2 .
7.10
Pour estimer la proportion p d’´ etudiant(e)s genevois(es) inscrits ` a la Facult´ e de Sciences ´
Economiques et Sociales (SES) de l’universit´ e de Gen` eve, on
poss` ede un ´ echantillon X 1 , . . . , X n tel que X i = 1, si l’´ etudiant i est genevois
de personnes favorables. Dans le 2
e ´ echantillon la proportion est P 2 =
240/1000 = 24 %. Pour avoir une estimation globale, on prend simplement la moyenne P
∗ = 27 %. Quelle est la variance (estim´ ee) de cet
estimateur?
2. Le 1
er sondage est clairement moins fiable que le 2
e . On propose alors de
ne pas le consid´ erer et d’utiliser l’estimateur P 2 = 24 %. Quelle est la
variance (estim´ ee) de cet estimateur?
3. Le meilleur estimateur est celui qui donne le mˆ eme poids ` a chaque observation (et non pas `
a chaque ´ echantillon). Ceci veut dire qu’on prend
l’estimation P = (60 + 240)/(200 + 1 000) = 25 %. Quelle est la variance
(estim´ ee) de cet estimateur?
4. Donner les efficacit´ es des estimateurs consid´ er´ es ci-dessus (par rapport
au meilleur).
5. Vrai ou faux?
Il est important de connaˆ ıtre la fiabilit´ e des sources des observations. Par
exemple, si on donne trop de poids `
a l’information provenant de sources
non fiables, on peut perturber toute l’estimation.
7.8
La moyenne ¯
X d’un ´ echantillon de taille n est utilis´ ee pour estimer la
moyenne µ de la population. On d´ esire d´ eterminer n de sorte que l’erreur absolue | ¯
X − µ | soit au plus ´ egale `
a un nombre fix´ e d avec une grande probabilit´ e
1 − α (α donn´ e). Soit un ´ echantillon X 1 , . . . , X n issu d’une loi N (µ, 4).
1. Existe-t-il pour tout α un tel n?
2. Trouver n si α = 0,05 et d = 1.
3. ´
Etablir un graphe de n en fonction de 1−α (α ≤ 0,1) en conservant d = 1.
7.9
Le rayon R d’un cercle est mesur´ e avec une erreur de mesure distribu´ ee
selon une loi N (0, σ
2 ), σ inconnu.
Trouver un estimateur non biais´ e pour la surface S du cercle ´ etant donn´ e que
l’on dispose de n mesures ind´ ependantes du rayon.
Rappel : S = πR
2 .
7.10
Pour estimer la proportion p d’´ etudiant(e)s genevois(es) inscrits ` a la Facult´ e de Sciences ´
Economiques et Sociales (SES) de l’universit´ e de Gen` eve, on
poss` ede un ´ echantillon X 1 , . . . , X n tel que X i = 1, si l’´ etudiant i est genevois