7. Estimation ponctuelle 137
7.4
Soient X 1 , . . . , X n distribu´ es selon une loi N (µ, σ
2 ). On consid` ere les 2 estimateurs suivants de σ
2 (µ inconnu)
s
2 =
1
n − 1
n
i=1
(X i − ¯
X)
2
et ˜
s =
1
n
n
i=1
(X i − ¯
X)
2 .
Comparez-les du point de vue de l’erreur carr´ ee moyenne.
Indication :
1
σ 2
n
i=1 (X i − ¯
X)
2 suit une loi χ
2
n−1 .
7.5
Soient U 1 , . . . , U n des variables al´ eatoires ind´ ependantes qui sont distribu´ ees
uniform´ ement sur l’intervalle (0, θ). Soit
T = 2 ·
(U 1 + . . . + U n )
n
et S =
n + 1
n
· max{U 1 , . . . , U n }.
1. Trouver l’esp´ erance et la variance de T .
2. Trouver l’esp´ erance et la variance de S.
Indication : trouver d’abord la distribution de Y = max{U 1 , . . . , U n }.
3. Comparer les 2 estimateurs du point de vue de l’erreur carr´ ee moyenne.
7.6
Soit X 1 , . . . , X n un ´ echantillon de variables ind´ ependantes avec densit´ e
f X (x) =
2
3x 2
si − 1 < x < 2
0
sinon.
On dispose de 2 estimateurs de µ = E(X i )
T 1 (X 1 , . . . ,X n ) =
X 1 + X 2
2
et
T 2 (X 1 , . . . ,X n ) =
1
n
n
i=1
X i −
X 1 − X 2
2
.
D´ eterminer lequel des 2 estimateurs est le plus efficace.
7.7
1. Deux instituts de sondages effectuent un ´ echantillonnage pour estimer la
proportion π des Suisses qui sont favorables ` a la l´ egalisation du cannabis. Le premier ´ echantillon montre une proportion P 1 = 60/200 = 30 %