136 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Exercices
Comparaisons d’estimateurs
7.1
1. Si E(X i ) = µ et V ar(X i ) = σ
2 , montrer que
s
2 =
1
n − 1
n
i=1
(X i − ¯
X)
2
est un estimateur non biais´ e de σ
2 .
Indication : d´ evelopper
n
i=1 (X i − ¯
X)
2 .
2. Est-ce que s =
√
s 2 est un estimateur non biais´ e de σ ?
7.2
On consid` ere le mod` ele de r´ egression simple
Y i = α + βx i + i , i = 1, . . . ,n
o` u 1 , . . . ,, n sont n variables al´ eatoires (erreurs) ind´ ependantes avec la mˆ eme
distribution et E( i ) = 0, V ar( i ) = σ
2 .
1. Calculer E(Y i ) et V ar(Y i ).
2. On d´ esire estimer α et β par la m´ ethode des moindres carr´ es. Donner les
estimateurs ˆ
α MC et ˆ
β MC .
3. Montrer que ˆ
α MC et ˆ
β MC sont des estimateurs sans biais.
4. Calculer V ar(ˆ α MC ) et V ar( ˆ
β MC ).
7.3
Pour estimer la moyenne µ d’une population on utilise souvent la moyenne
de l’´ echantillon ¯
X. Pour r´ eduire la variance de ¯
X, on envisage d’utiliser un
estimateur du type a ¯
X, 0 ≤ a ≤ 1.
1. Calculer biais
2 (a ¯
X, µ), var(a ¯
X) et l’erreur carr´ e moyenne de a ¯
X.
2. Faire un graphique de biais
2 (a ¯
X, µ) et var(a ¯
X) en fonction de a, pour
0 ≤ a ≤ 1.
3. `
A quel prix (en biais) peut-on r´ eduire la variance de l’estimateur de µ?
4. Pour quelle valeur de a a-t-on le meilleur compromis entre le biais au
carr´ e et la variance?