130 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
sur la r´ ep´ etition de l’exp´ erience avec David. Soient X 1 , . . . , X n des variables
al´ eatoires qui valent 1 si David n’arrive pas `
a compter ses doigts et 0 dans le
cas contraire. Les variables al´ eatoires X i suivent alors une distribution de Bernoulli avec probabilit´ e p = 0,2. La probabilit´ e estim´ ee qu’un enfant dyslexique
n’arrive pas `
a compter ses doigts sera
ˆ
p =
1
n
n
i=1
X i = X.
On aimerait que l’´ ecart-type de l’estimateur ˆ
p soit ´ egal `
a 0,05, ou, autrement
dit, que sa variance soit ´ egale `
a 0,05
2 . Ainsi
var(ˆ p) = var(X) = var
1
n
n
i=1
X i
=
1
n
var(X i ) =
p(1 − p)
n
=
0,16
n
= 0,05
2 ,
et
n = 64.
La taille de l’´ echantillon est donc de 64.
6.4
Soit X i la variable al´ eatoire qui vaut 1 si la famille i vit en dessous du seuil
de pauvret´ e et 0 sinon. La proportion p de familles vivant en dessous du seuil
de pauvret´ e dans l’´ echantillon est
p = X =
n
i=1
X i .
X i suivant une loi de Bernoulli de probabilit´ e p, on a
E(X) p = 0,15
et
var(X) =
p(1 − p)
n
0,128
n
.
On veut que l’´ ecart-type de X soit ´ egal `
a 0,02, donc
var(X) =
0,128
n
= 0,02 ⇔ n 319.
Il faut 319 familles pour avoir un ´ ecart-type d’environ 0,02.