6. Principes d’induction statistique et ´ echantillonnage 129
Corrig´ es
6.1
Dans une population, les param` etres tels que sa taille (N ), sa moyenne (µ)
ou sa variance (σ
2 ) sont connus et ne sont donc pas des variables al´ eatoires.
De cette population, un nombre fix´ e (n) de variables al´ eatoires (X 1 , . . . , X n )
est tir´ e et constitue un ´ echantillon. Toute quantit´ e d´ ependant de ces variables
al´ eatoires est ´ egalement une variable al´ eatoire. Les r´ eponses de l’exercice sont
alors :
1. non (µ) ;
2. non (N ) ;
3. non (n) ;
4. oui (X =
n
i=1 X i ) ;
5. non (σ
2 /n) ;
6. oui (max(X i )) ;
7. non (σ
2 ) ;
8. oui (s
2 (X 1 , . . . ,X n )/n).
6.2
Afin de d´ eterminer quel ´ echantillon donnera une estimation de la moyenne
la plus pr´ ecise, on calcule la variance de chacune des moyenne. En g´ en´ eral, on
a
var(X) =
σ
2
n
,
ce qui donne dans le cas pr´ esent
var(X 1 ) =
σ
2
1
n 1
et
var(X 2 ) =
σ
2
2
n 2
=
4σ
2
1
2n 1
= 2
σ
2
1
n 1
= 2var(X 1 ).
Par cons´ equent, l’estimation de la moyenne est plus pr´ ecise dans le premier
´ echantillon. Si l’´ ecart-type est 2 fois plus grand, il faut quadrupler la taille de
l’´ echantillon pour obtenir la mˆ eme pr´ ecision dans l’estimation de l’esp´ erance.
6.3
On sait que dans la population des enfants atteints de dyslexie, 20 % n’arrivent pas `
a compter leurs doigts. On s’int´ eresse ` a un ´ echantillon construit