6. Principes d’induction statistique et ´ echantillonnage 131
6.5
Soit p la proportion de l’´ echantillon qui vote en faveur du candidat C et soit
X i une variable al´ eatoire qui vaut 1 si l’´ electeur i vote pour C et 0 sinon. Soit V
(respectivement CA) l’´ ev´ enement « l’´ electeur vient de la ville (respectivement
de la campagne) ».
1. On connaˆ ıt la vraie valeur de p. En effet
p = P (X i = 1) = P (X i = 1 | V )P (V ) + P (X i = 1 | CA)P (CA)
= 0,3 · 0,8 + 0,75 · 0,2 = 0,39.
L’estimateur ˆ
p de p est ˆ
p =
1
n
n
i=1 X i . Son esp´ erance est
E(ˆ p) =
1
n
n
i=1
E(X i ) =
1
n
n
i=1
P (X i = 1)
=
1
n
n
i=1
P (X i = 1 | ˜
V )P ( ˜
V ) + P (X i = 1 |
CA)P (
CA)
= 0,3
1
7
+ 0,75
6
7
0,69,
o` u ˜
V (respectivement
CA) est l’´ ev´ enement « l’individu dans l’´ echantillon
vient de la ville (respectivement de la campagne) ». On en d´ eduit le biais
de ˆ
p
biais(ˆ p, p) = E(ˆ p) − p 0,69 − 0,39 = 0,3.
2. Oui, le biais est suffisamment important pour que la moyenne de l’´ echantillon soit fausse.
6.6
Si σ
2 est la variance d’une observation X i , la variance de la moyenne d’un
´ echantillon de taille n est alors
var(X) =
σ
2
n
.
L’efficacit´ e entre les 2 estimateurs est le rapport entre les variances, soit
eff =
σ
2 /500
σ 2 /320
=
320
500
= 0,64.