124 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Elle correspond `
a celle d’une variable al´ eatoire suivant une loi exponentielle d’esp´ erance ´ egale `
a 1.
2. La variable al´ eatoire S n ´ etant la somme de n variables al´ eatoires exponentielles de param` etre 1, elle suit une loi Gamma de param` etres (1, n)
dont la fonction de densit´ e est
f Sn (s) =
1
(n − 1)!
e
−s s
n−1 .
3. On trouve d’abord
Z n =
n
i=1
X i = exp
−
n
i=1
log(X i )
= exp
n
i=1
Y i
= exp(−S n ).
On applique ensuite ce changement de variable sur la fonction de densit´ e
de S n
f Zn (z) = f Sn (− log(z))
∂
∂z
(− log(z))
=
1
(n − 1)!
(− log(z))
n−1 .
5.10
Soit n = 100 000. On cherche `
a calculer la moyenne g´ eom´ etrique σ n de
100 000 nombres al´ eatoires u i distribu´ es selon une loi uniforme (0, 1).
σ n = (u 1 · . . . · u n )
1/n
Afin de trouver la valeur de σ n , on en prend le logarithme
log σ n =
1
n
n
i=1
log(u i ).
Comme n est grand, on utilise la loi des grands nombres :
lim
n→∞
1
n
n
i=1
log(u i ) = E(log(u 1 )).
Ainsi
E(log(u 1 )) =
1
0
log(u 1 )du 1 =
log(u 1 ) · u 1
u1=1
u1=0
−
1
0
du = −1
et
σ n e
−1 .