5. Th´ eor` emes limites 123
On utilise donc le th´ eor` eme central limite pour trouver
P (S > 1 200) = P
Z >
1 200 − 1 505
√
23 484
Φ(1,99) 0,98 ;
La dur´ ee de vie de l’ensemble des composants a approximativement 98 % de
chance d’ˆ etre sup´ erieure `
a 1 200 heures.
5.8
Comme le d´ e est lanc´ e un grand nombre de fois, on aimerait pouvoir utiliser
le th´ eor` eme central limite pour calculer une approximation de la performance
des joueurs. On transforme donc le produit des lancers par un logarithme et on
d´ efinit ainsi
S Y = log
n
i=1
Y i
=
100
i=1
log(Y i ).
L’esp´ erance et la variance de S Y s’´ ecrivent
E(S Y ) =
100
i=1
E(log(Y i )) = 100
6
j=1
1
6
log(j) =
50
3
log(6!) 110,
et
var(S Y ) =
100
i=1
var(log(Y i )) = 100
E((log(Y 1 ))
2 ) − E
2 (log(Y 1 ))
= 100


6
j=1
1
6
log
2 (j) −
50
3
log(6!)
2

 36,6.
On utilise maintenant le th´ eor` eme central limite pour trouver la probabilit´ e
que Samuel obtienne le meilleur score
P
100
i=1
Y i > 4
100
= P (S Y > 100 log(4)) = P
Z >
100 log(4) − E(S Y )
var(S Y )
1 − Φ
100 log(4) − 110
√
36,6
1 − Φ(4,79) 0,
o` u Z ∼ N (0,1). Il est donc approximativement certain que Samuel ne batte
pas Sonia.
5.9
1. Soit Y k = − log(X k ). Sa fonction de r´ epartition est
F Y k (y) = P (Y k < y) = P (− log X k < y) =
= P
X k > e
−y
= 1 − F X k
e
−y
= 1 − e
−y .