122 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Il y a environ 5 % de chance que la somme du groupe soit sup´ erieure
` a 253.
5.6
Soit X le revenu annuel d’un employ´ e d’une grande banque et E(X) =
50 000 son esp´ erance.
1. La seule information `
a disposition ´ etant l’esp´ erance de X, on utilise l’in´ egalit´ e de Markov pour trouver une borne sup´ erieure pour le pourcentage p
des revenus sup´ erieurs ou ´ egaux `
a 80 000 e :
p = P (X > 80 000) ≤
50 000
80 000
=
5
8
.
Moins de 63 % des employ´ es de la banque gagnent plus que 80 000 e.
2. On connaˆ ıt `
a pr´ esent l’´ ecart-type de X et cela permet de calculer une
borne sup´ erieure pour p plus pr´ ecise avec l’in´ egalit´ e de Chebychev :
p = P (X > 80 000) = P (X − 50 000 > 30 000) =
= P (| X − 50 000 |> 30 000) ≤
10 000
2
30 000 2 =
1
9
.
Il y a au maximum 11 % des employ´ es qui gagnent plus que 80 000 e.
Dans le cas pr´ esent, la borne sup´ erieure a ´ et´ e surestim´ ee par l’in´ egalit´ e
de Markov.
5.7
Soit D i la dur´ ee de vie du composant i. La variable al´ eatoire D i suit une
loi exponentielle d’esp´ erance 10 + i/10 heures. On s’int´ eresse ` a la probabilit´ e
que S =
100
i=1 D i soit sup´ erieur ` a 1 200. L’´ echantillon ´ etant grand, on applique
le th´ eor` eme central limite et il faut par cons´ equent calculer l’esp´ erance et la
variance de S
E(S) = E
100
i=1
D i
=
100
i=1
E(D i ) =
100
i=1
10 +
i
10
= 1 000 +
1
10
100 · 101
2
= 1 505,
et
var(S) =
100
i=1
var(D i ) =
100
i=1
10 +
i
10
2
=
100
i=1
100 + 2i +
i
2
100
= 10 000 + 2
100 · 101
2
+
1
100
100 · 101 · 201
6
23 484.