5. Th´ eor` emes limites 121
5.4
Soit G i le gain de Christian sur le joueur i. On cherche la probabilit´ e que
la somme des gains S =
5 000
i=1 X i sur 5 000 personnes soit inf´ erieure `
a 0.
Comme la taille de l’´ echantillon est importante, on utilise le th´ eor` eme central
limite pour approcher la distribution de S ; il nous faut donc trouver l’esp´ erance
et la variance de G i
E(G i ) = P (Christian gagne) · 1 + P (Christian perd) · (−35) =
=
36
37
−
1
37
· 35 =
1
37
0,027,
var(G i ) = E(G
2
i ) − E
2 (G i ) =
36
37
+
1
37
· 35
2
−
1
37 2 34.
On trouve donc
P (S < 0) = P
S − nE(G i )
nvar(G i )
<
−nE(G i )
nvar(G i )
Φ
−
√
nE(G i )
var(G i )
1 − Φ(0,33) 0,37.
Il y a 37 % de chance que Christian perde de l’argent.
5.5
1. La loi exponentielle E(λ) est une loi Gamma de param` etres (λ, 1).
2. Comme S 10 est la somme de 10 variables al´ eatoires qui suivent toutes la
mˆ eme loi exponentielle E(λ) et sont ind´ ependantes, S 10 suit une Gamma
de param` etres (λ, 10).
3. Afin de pouvoir calculer la probabilit´ e que Quentin et ses amis puissent
aller au cin´ ema, on utilise l’approximation normale
P (S 10 > 150) = 1−P
S 10 −
10
0,06
√
10
0,06
<
150 −
10
0,06
√
10
0,06
1−Φ(−0,32) 0,63.
La probabilit´ e que Quentin et ses amis aillent au cin´ ema est d’environ
63 %.
4. On cherche z qui satisfait P (S 10 > z) = 0,05. Ainsi
P (S 10 > z) = P
Z <
z −
10
0,06
√
10
0,06
= 0,05,
o` u Z ∼ N (0,1). On en d´ eduit finalement que
0,06z − 10
√
10
= z 0,95 1,64 ⇔ z
1,64
√
10 + 10
0,06
253.