120 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
On remplace alors ε par σ(x) · z 1−α/2 , avec σ(x)
2 = var(X), pour obtenir
P (E(X) − σ(X) · z 1−α/2 < X > E(X) + σ(X) · z 1−α/2 )
> 1 −
var(X)
(σz 1−α/2 ) 2
= 1 −
1
z 2
1−α/2
.
Ainsi, puisque la probabilit´ e pr´ ec´ edente est sup´ erieure `
a 0,99, z 1−α/2 vaut
au maximum 10 et l’intervalle de confiance est inclus dans [4 500 , 5 500].
5.3
1. Soit N le nombre de r´ ealisations de X inf´ erieures ` a 0,003. La variable
al´ eatoire N suit une loi binomiale de param` etres (1 000 , 0,003) que l’on
l’approxime par une loi de Poisson d’esp´ erance λ = np = 3. On calcule
donc la probabilit´ e
P (N < 5) =
4
k=0
λ
k e
−λ
k!
0,82.
Il y a environ 82 % de chance que moins de 5 r´ ealisations de la variable
al´ eatoire X soient inf´ erieures ` a 0,003.
2. Soit M le nombre des mˆ emes r´ ealisations, mais cette fois-ci comprises
entre 0,25 et 0,75. La variable al´ eatoire M a une distribution binomiale
(1 000 , 0,5), son esp´ erance vaut 500 et sa variance 250. On trouve alors
P (| M − 500 |> 20) = 1 − P (−20 < M − 500 < 20)
= 1 − P
−
20
√
250
<
M − 250
√
250
<
20
√
250
= 1 − P
−
4
√
10
< Z <
4
√
10
.
Par le th´ eor` eme central limite, on fait l’approximation que Z suit une loi
normale centr´ ee et r´ eduite. Par cons´ equent
P (| M − 500 |> 20) = 2 − 2P
Z <
4
√
10
0,21,
ce qui signifie que la probabilit´ e qu’il y ait plus de 20 r´ ealisations de X
comprises entre 0,25 et 0,75 est d’environ 21 %.