5. Th´ eor` emes limites 119
Corrig´ es
5.1
Soit X le nombre d’inscriptions `
a un cours d’´ economie politique. La variable
al´ eatoire X suit une loi de Poisson d’esp´ erance ´ egale `
a 100. On cherche la
probabilit´ e qu’il y ait plus de 120 ´ etudiants inscrits, soit
P (X > 120) = e
−100
∞
i=121
100
i
i!
.
Plutˆ ot que de s’exposer ` a de grosses erreurs num´ eriques dues `
a la taille ´ enorme
du num´ erateur et du d´ enominateur, il est possible d’utiliser l’approximation
normale (th´ eor` eme central limite) pour calculer cette probabilit´ e
P (X > 120) P
X − 100
√
100
>
120 − 100
√
100
= 1 − Φ(2) 0,023.
Ainsi, la probabilit´ e que le professeur doive donner son cours 2 fois est environ
´ egale `
a 2,3 %.
5.2
Soit X le nombre de fois o` u la pi` ece donne pile. La variable al´ eatoire X a
une distribution binomiale de param` etres (10 000, 0,5). Son esp´ erance est ´ egale
` a E(X) = np = 5 000 et sa variance ` a var(X) = np(1 − p) = 2 500.
1. Pour calculer un intervalle autour de 5 000 avec les bonnes propri´ et´ es, on
utilise l’approximation normale :
P
−z 1−α/2 <
X − 5 000
50
< z 1−α/2
=
= P (−50z 1−α/2 + 5 000 < X < 50z 1−α/2 + 5 000) = 0,99.
On en d´ eduit que l’intervalle [4 871 , 5 129] contiendra le nombre de piles
avec 99 % de probabilit´ e.
2. Par l’in´ egalit´ e de Chebychev, on a
P (| X − E(X) |≥ ε) ≤
var(X)
ε 2 ,
ou plutˆ ot dans le cas pr´ esent
P (−ε < X − E(X) < ε) > 1 −
var(X)
ε 2 .