118 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
approximation de la probabilit´ e que Samuel obtienne un score plus ´ elev´ e que
Sonia, c’est-` a-dire la probabilit´ e
P
100
i=1
Y i > 4
100
.
5.9
Certaines particules subissent des collisions qui causent leur division en
2 morceaux, chacun ´ etant une fraction de la particule de d´ epart. Supposons
que la fraction X est distribu´ ee uniform´ ement sur l’intervalle (0, 1). En suivant
une seule particule apr` es n divisions, on obtient une fraction de la particule
de d´ epart qu’on appelle Z n = X 1 · X 2 · . . . · X n o` u chaque X j est distribu´ e
uniform´ ement sur l’intervalle (0, 1). On veut trouver la distribution de Z n .
1. Montrer que la variable al´ eatoire Y k = − log(X k ) a une distribution exponentielle.
2. Utiliser le r´ esultat pr´ ec´ edent pour trouver la distribution de S n = Y 1 +
Y 2 + . . . + Y n . ´
Ecrire la fonction de densit´ e de S n .
3. Exprimer Z n en fonction de S n et montrer que la fonction de densit´ e
de Z n est
f n (z) =
1
(n − 1)!
(− log z)
n−1 .
5.10
On g´ en` ere ` a l’ordinateur 100 000 nombres al´ eatoires u 1 , . . . ,u 100 000 selon
une loi uniforme (0, 1) et on calcule leur moyenne g´ eom´ etrique
(u 1 · u 2 · . . . · u 100 000 )
1/100 000 .
Cette valeur sera tr` es proche d’un certain nombre a. Calculer a et justifier votre
r´ eponse.
approximation de la probabilit´ e que Samuel obtienne un score plus ´ elev´ e que
Sonia, c’est-` a-dire la probabilit´ e
P
100
i=1
Y i > 4
100
.
5.9
Certaines particules subissent des collisions qui causent leur division en
2 morceaux, chacun ´ etant une fraction de la particule de d´ epart. Supposons
que la fraction X est distribu´ ee uniform´ ement sur l’intervalle (0, 1). En suivant
une seule particule apr` es n divisions, on obtient une fraction de la particule
de d´ epart qu’on appelle Z n = X 1 · X 2 · . . . · X n o` u chaque X j est distribu´ e
uniform´ ement sur l’intervalle (0, 1). On veut trouver la distribution de Z n .
1. Montrer que la variable al´ eatoire Y k = − log(X k ) a une distribution exponentielle.
2. Utiliser le r´ esultat pr´ ec´ edent pour trouver la distribution de S n = Y 1 +
Y 2 + . . . + Y n . ´
Ecrire la fonction de densit´ e de S n .
3. Exprimer Z n en fonction de S n et montrer que la fonction de densit´ e
de Z n est
f n (z) =
1
(n − 1)!
(− log z)
n−1 .
5.10
On g´ en` ere ` a l’ordinateur 100 000 nombres al´ eatoires u 1 , . . . ,u 100 000 selon
une loi uniforme (0, 1) et on calcule leur moyenne g´ eom´ etrique
(u 1 · u 2 · . . . · u 100 000 )
1/100 000 .
Cette valeur sera tr` es proche d’un certain nombre a. Calculer a et justifier votre
r´ eponse.