5. Th´ eor` emes limites 117
donc
f (x) =
0,06 exp(−0,06x) x ≥ 0
0
s i n o n .
De plus, on admet que les X i sont ind´ ependants.
1. ´
Ecrire la loi exponentielle E(λ) comme une loi Gamma en donnant les
param` etres de celle-ci.
2. Soit S 10 =
10
i=1 X i . Quelle est la densit´ e de S 10 ?
3. Sachant qu’un ticket de cin´ ema coˆ ute 15 e, quelle est la probabilit´ e que
Quentin est ses amis puissent aller au cin´ ema?
4. Comment faut-il choisir z > 0 pour que la probabilit´ e que la somme totale
d’argent du groupe soit sup´ erieur ` a z soit ´ egale `
a 5 %?
5.6
La moyenne des revenus annuels des employ´ es d’une grande banque est ´ egale
` a 50 000 e.
1. Donner une borne sup´ erieure pour le pourcentage p des revenus sup´ erieurs
ou ´ egaux `
a 80 000 e.
2. De plus, on sait que l’´ ecart-type est ´ egal `
a 10 000 e. Donner une borne
sup´ erieure plus petite pour p en utilisant cette information suppl´ ementaire.
5.7
Nous avons 100 composants que nous allons employer les uns apr` es les
autres. Cela veut dire que le composant 1 sera d’abord utilis´ e, puis lorsqu’il
tombera en panne, il sera remplac´ e par le composant 2, qui sera lui-mˆ eme remplac´ e par le composant 3, et ainsi de suite. Si la dur´ ee de vie du composant i est
distribu´ ee selon une loi exponentielle avec esp´ erance (en heures) 10 + i/10 pour
i = 1, . . . , 100, et si les dur´ ees de vie sont ind´ ependantes, estimer la probabilit´ e
que la dur´ ee de vie totale de l’ensemble des composants d´ epasse 1 200 heures.
Indication :
n
i=1
i =
n(n + 1)
2
et
n
i=1
i
2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
5.8
Samuel et Sonia jouent au jeu suivant. Chacun est appel´ e ` a lancer 100 fois
un d´ e ´ equilibr´ e et ` a mesurer sa propre performance par le produit des scores
obtenus `
a chaque lancer.
Sonia commence ` a jouer et totalise le score
100
i=1 x i = 4
100 . Soit Y i la variable
al´ eatoire qui repr´ esente la valeur obtenue par Samuel au i
e lancer. Donner une
donc
f (x) =
0,06 exp(−0,06x) x ≥ 0
0
s i n o n .
De plus, on admet que les X i sont ind´ ependants.
1. ´
Ecrire la loi exponentielle E(λ) comme une loi Gamma en donnant les
param` etres de celle-ci.
2. Soit S 10 =
10
i=1 X i . Quelle est la densit´ e de S 10 ?
3. Sachant qu’un ticket de cin´ ema coˆ ute 15 e, quelle est la probabilit´ e que
Quentin est ses amis puissent aller au cin´ ema?
4. Comment faut-il choisir z > 0 pour que la probabilit´ e que la somme totale
d’argent du groupe soit sup´ erieur ` a z soit ´ egale `
a 5 %?
5.6
La moyenne des revenus annuels des employ´ es d’une grande banque est ´ egale
` a 50 000 e.
1. Donner une borne sup´ erieure pour le pourcentage p des revenus sup´ erieurs
ou ´ egaux `
a 80 000 e.
2. De plus, on sait que l’´ ecart-type est ´ egal `
a 10 000 e. Donner une borne
sup´ erieure plus petite pour p en utilisant cette information suppl´ ementaire.
5.7
Nous avons 100 composants que nous allons employer les uns apr` es les
autres. Cela veut dire que le composant 1 sera d’abord utilis´ e, puis lorsqu’il
tombera en panne, il sera remplac´ e par le composant 2, qui sera lui-mˆ eme remplac´ e par le composant 3, et ainsi de suite. Si la dur´ ee de vie du composant i est
distribu´ ee selon une loi exponentielle avec esp´ erance (en heures) 10 + i/10 pour
i = 1, . . . , 100, et si les dur´ ees de vie sont ind´ ependantes, estimer la probabilit´ e
que la dur´ ee de vie totale de l’ensemble des composants d´ epasse 1 200 heures.
Indication :
n
i=1
i =
n(n + 1)
2
et
n
i=1
i
2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
5.8
Samuel et Sonia jouent au jeu suivant. Chacun est appel´ e ` a lancer 100 fois
un d´ e ´ equilibr´ e et ` a mesurer sa propre performance par le produit des scores
obtenus `
a chaque lancer.
Sonia commence ` a jouer et totalise le score
100
i=1 x i = 4
100 . Soit Y i la variable
al´ eatoire qui repr´ esente la valeur obtenue par Samuel au i
e lancer. Donner une