116 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Exercices
5.1
Le nombre d’inscriptions `
a un cours d’´ economie politique est une variable
al´ eatoire de Poisson de param` etre 100. Le professeur donnant ce cours a d´ ecid´ e
que si le nombre d’inscriptions est au-del` a de 120, il cr´ eera 2 sections et donnera
donc 2 cours, tandis qu’en de¸ c` a une seule classe sera form´ ee.
Quelle est la probabilit´ e que ce professeur ait ` a donner 2 fois ce cours?
5.2
Supposons qu’on ait lanc´ e 10 000 fois une pi` ece de monnaie bien ´ equilibr´ ee.
1. Trouver un intervalle sym´ etrique autour de 5 000 o` u l’on puisse dire que
le nombre de pile y appartient avec une probabilit´ e sup´ erieure `
a 0,99.
2. Comparer le r´ esultat avec celui obtenu en appliquant l’in´ egalit´ e de Chebychev.
5.3
Soient X 1 , . . . ,X 1 000 des variables al´ eatoires suivant la loi uniforme sur
l’intervalle (0, 1). Soit N le nombre d’entre elles inf´ erieures ` a 0,003. Calculer
P (N < 5) en utilisant l’approximation par la loi de Poisson. Soit M le nombre
d’entre elles comprises entre 1/4 et 3/4. D´ eterminer par approximation normale
P (| M − 500 |> 20).
5.4
Christian vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a install´ e
qu’une roulette et a simplifi´ e le jeu de la mani` ere suivante : on ne peut miser que 1 euro sur 1 seul des 37 num´ eros (de 0 `
a 36) `
a la fois. En cas de gain,
Christian donne 35 e.
Si, apr` es un mois, 5 000 personnes ont mis´ e 1 e, quelle est la probabilit´ e
que Christian perde de l’argent?
5.5
Quentin et ses 9 amis voudraient aller au cin´ ema. Ils d´ ecident de rassembler
leur argent de poche et esp` erent obtenir la somme totale n´ ecessaire.
On peut supposer que l’argent de poche de chacun est une variable al´ eatoire X i qui suit la loi exponentielle de param` etre λ = 0,06. Sa densit´ e est
Exercices
5.1
Le nombre d’inscriptions `
a un cours d’´ economie politique est une variable
al´ eatoire de Poisson de param` etre 100. Le professeur donnant ce cours a d´ ecid´ e
que si le nombre d’inscriptions est au-del` a de 120, il cr´ eera 2 sections et donnera
donc 2 cours, tandis qu’en de¸ c` a une seule classe sera form´ ee.
Quelle est la probabilit´ e que ce professeur ait ` a donner 2 fois ce cours?
5.2
Supposons qu’on ait lanc´ e 10 000 fois une pi` ece de monnaie bien ´ equilibr´ ee.
1. Trouver un intervalle sym´ etrique autour de 5 000 o` u l’on puisse dire que
le nombre de pile y appartient avec une probabilit´ e sup´ erieure `
a 0,99.
2. Comparer le r´ esultat avec celui obtenu en appliquant l’in´ egalit´ e de Chebychev.
5.3
Soient X 1 , . . . ,X 1 000 des variables al´ eatoires suivant la loi uniforme sur
l’intervalle (0, 1). Soit N le nombre d’entre elles inf´ erieures ` a 0,003. Calculer
P (N < 5) en utilisant l’approximation par la loi de Poisson. Soit M le nombre
d’entre elles comprises entre 1/4 et 3/4. D´ eterminer par approximation normale
P (| M − 500 |> 20).
5.4
Christian vient d’ouvrir un salon de jeux. Pour l’instant, il n’a install´ e
qu’une roulette et a simplifi´ e le jeu de la mani` ere suivante : on ne peut miser que 1 euro sur 1 seul des 37 num´ eros (de 0 `
a 36) `
a la fois. En cas de gain,
Christian donne 35 e.
Si, apr` es un mois, 5 000 personnes ont mis´ e 1 e, quelle est la probabilit´ e
que Christian perde de l’argent?
5.5
Quentin et ses 9 amis voudraient aller au cin´ ema. Ils d´ ecident de rassembler
leur argent de poche et esp` erent obtenir la somme totale n´ ecessaire.
On peut supposer que l’argent de poche de chacun est une variable al´ eatoire X i qui suit la loi exponentielle de param` etre λ = 0,06. Sa densit´ e est