5. Th´ eor` emes limites 115
Th´ eor` eme central limite
Soient X 1 , . . . , X n une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees, d’esp´ erance µ et variance σ
2 finie. Alors
¯
X n − µ
σ/
√
n
n→∞
−→ N (0,1),
(5.1)
en distribution.
On voit bien que, afin que la convergence se fasse, une standardisation est
n´ ecessaire : en effet, on peut voir le rapport dans (5.1) comme
¯
X n − µ
σ/
√
n
=
¯
X n − E( ¯
X n )
var(X n )
.
Notes historiques
La loi faible des grands nombres a ´ et´ e ´ etablie la premi` ere fois par J. Bernoulli
pour le cas particulier d’une variable al´ eatoire binaire ne prenant que les valeurs 0 ou 1. Le r´ esultat a ´ et´ e publi´ e en 1713.
La loi forte des grands nombres est due au math´ ematicien E. Borel (18711956), d’o` u parfois son autre appellation : th´ eor` eme de Borel.
Le th´ eor` eme central limite a ´ et´ e formul´ e pour la premi` ere fois par A. de
Moivre en 1733 pour approximer le nombre de « piles » dans le jet d’une pi` ece
de monnaie ´ equilibr´ ee. Ce travail a ´ et´ e un peu oubli´ e jusqu’` a ce que P.S. Laplace
ne l’´ etende ` a l’approximation d’une loi binomiale par la loi normale dans son
ouvrage Th´ eorie analytique des probabilit´ es en 1812. C’est dans les premi` eres
ann´ ees du XX
e si` ecle que A. Lyapounov l’a red´ efini en termes g´ en´ eraux et
prouv´ e avec rigueur.
R´ ef´ erences (th´ eorie)
Ross, chapitre 8 [1]; Lejeune, chapitre 5.8 [3], et Morgenthaler, chapitre 5 [4].
Th´ eor` eme central limite
Soient X 1 , . . . , X n une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees, d’esp´ erance µ et variance σ
2 finie. Alors
¯
X n − µ
σ/
√
n
n→∞
−→ N (0,1),
(5.1)
en distribution.
On voit bien que, afin que la convergence se fasse, une standardisation est
n´ ecessaire : en effet, on peut voir le rapport dans (5.1) comme
¯
X n − µ
σ/
√
n
=
¯
X n − E( ¯
X n )
var(X n )
.
Notes historiques
La loi faible des grands nombres a ´ et´ e ´ etablie la premi` ere fois par J. Bernoulli
pour le cas particulier d’une variable al´ eatoire binaire ne prenant que les valeurs 0 ou 1. Le r´ esultat a ´ et´ e publi´ e en 1713.
La loi forte des grands nombres est due au math´ ematicien E. Borel (18711956), d’o` u parfois son autre appellation : th´ eor` eme de Borel.
Le th´ eor` eme central limite a ´ et´ e formul´ e pour la premi` ere fois par A. de
Moivre en 1733 pour approximer le nombre de « piles » dans le jet d’une pi` ece
de monnaie ´ equilibr´ ee. Ce travail a ´ et´ e un peu oubli´ e jusqu’` a ce que P.S. Laplace
ne l’´ etende ` a l’approximation d’une loi binomiale par la loi normale dans son
ouvrage Th´ eorie analytique des probabilit´ es en 1812. C’est dans les premi` eres
ann´ ees du XX
e si` ecle que A. Lyapounov l’a red´ efini en termes g´ en´ eraux et
prouv´ e avec rigueur.
R´ ef´ erences (th´ eorie)
Ross, chapitre 8 [1]; Lejeune, chapitre 5.8 [3], et Morgenthaler, chapitre 5 [4].