114 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 5 10 15 20
n=1
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20 30 40 50
n=5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20 30 40 50
n=10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 10 20 30 40
n=50
Fig. 5.1 – Illustration du th´ eor` eme central limite : histogramme
de la moyenne de 200 ´ echantillons issus d’une loi uniforme sur
l’intervalle (0, 1) en fonction de la taille n de l’´ echantillon.
Les trois th´ eor` emes
Loi faible des grands nombres
Soient X 1 , . . . , X n une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees. On suppose que E(|X i |) < ∞ et que touts les X i admettent
la mˆ eme esp´ erance E(X i ) = µ. Pour tout > 0
lim
n→∞
P
| ¯
X n − µ |> >
= 0,
c’est-` a-dire ¯
X n converge en probabilit´ e vers µ, ce qui en ´ econom´ etrie est souvent
not´ e plim ¯
X n = µ.
Loi forte des grands nombres
Soient X 1 , . . . , X n une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees. On suppose que E(|X i |) < ∞ et que touts les X i admettent
la mˆ eme esp´ erance E(X i ) = µ. Alors, pour tout > 0
P
lim
n→∞
¯
X n = µ
= 1.
On dit que ¯
X n converge presque sˆ urement vers µ.