Chapitre 5
Th´ eor` emes limites
Introduction
Ce chapitre a trait `
a trois r´ esultats importants de la th´ eorie asymptotique
des probabilit´ es : la loi faible des grands nombres, la loi forte des grands nombres
et le th´ eor` eme central limite, dans sa version pour variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees (X i ∼ F θ pour i = 1, . . . , n). Ce sont des
r´ esultats qui traitent les propri´ et´ es de la distribution de la moyenne d’une suite
de variables al´ eatoires ( ¯
X n ).
Les deux lois des grands nombres ´ enoncent les conditions sous lesquelles la
moyenne d’une suite de variables al´ eatoires converge vers leur esp´ erance commune et expriment l’id´ ee que lorsque le nombre d’observations augmente, la
diff´ erence entre la valeur attendue (µ = E(X i )) et la valeur observ´ ee ( ¯
X n ) tend
vers z´ ero. De son cˆ ot´ e, le th´ eor` eme central limite ´ etablit que la distribution
standardis´ ee d’une moyenne tends asymptotiquement vers une loi normale, et
cela mˆ eme si la distribution des variables sous-jacente est non normale. Ce r´ esultat est central en probabilit´ es et statistique et peut ˆ etre facilement illustr´ e
(cf. figure 5.1). Ind´ ependamment de la distribution sous-jacente des observations (ici une loi uniforme), lorsque n croˆ ıt, la distribution de ¯
X n tend vers une
loi normale : on observe dans l’illustration la forme de plus en plus sym´ etrique
de la distribution ainsi que la concentration autour de l’esp´ erance (ici µ = 0,5)
et la r´ eduction de la variance.
Les retomb´ ees pratiques de ces r´ esultats sont importantes. En effet, la
moyenne de variables al´ eatoires est une quantit´ e qui intervient dans plusieurs
proc´ edures statistiques. Aussi, le r´ esultat du th´ eor` eme central limite permet
l’approximation des probabilit´ es li´ ees ` a des sommes de variables al´ eatoires.
De plus, lorsque l’on consid` ere des mod` eles statistiques, le terme d’erreur repr´ esente la somme de beaucoup d’erreurs (erreurs de mesure, variables non
consid´ er´ ees, etc.). En prenant comme justification le th´ eor` eme central limite,
ce terme d’erreur est souvent suppos´ e se comporter comme un loi normale.
Th´ eor` emes limites
Introduction
Ce chapitre a trait `
a trois r´ esultats importants de la th´ eorie asymptotique
des probabilit´ es : la loi faible des grands nombres, la loi forte des grands nombres
et le th´ eor` eme central limite, dans sa version pour variables al´ eatoires ind´ ependantes et identiquement distribu´ ees (X i ∼ F θ pour i = 1, . . . , n). Ce sont des
r´ esultats qui traitent les propri´ et´ es de la distribution de la moyenne d’une suite
de variables al´ eatoires ( ¯
X n ).
Les deux lois des grands nombres ´ enoncent les conditions sous lesquelles la
moyenne d’une suite de variables al´ eatoires converge vers leur esp´ erance commune et expriment l’id´ ee que lorsque le nombre d’observations augmente, la
diff´ erence entre la valeur attendue (µ = E(X i )) et la valeur observ´ ee ( ¯
X n ) tend
vers z´ ero. De son cˆ ot´ e, le th´ eor` eme central limite ´ etablit que la distribution
standardis´ ee d’une moyenne tends asymptotiquement vers une loi normale, et
cela mˆ eme si la distribution des variables sous-jacente est non normale. Ce r´ esultat est central en probabilit´ es et statistique et peut ˆ etre facilement illustr´ e
(cf. figure 5.1). Ind´ ependamment de la distribution sous-jacente des observations (ici une loi uniforme), lorsque n croˆ ıt, la distribution de ¯
X n tend vers une
loi normale : on observe dans l’illustration la forme de plus en plus sym´ etrique
de la distribution ainsi que la concentration autour de l’esp´ erance (ici µ = 0,5)
et la r´ eduction de la variance.
Les retomb´ ees pratiques de ces r´ esultats sont importantes. En effet, la
moyenne de variables al´ eatoires est une quantit´ e qui intervient dans plusieurs
proc´ edures statistiques. Aussi, le r´ esultat du th´ eor` eme central limite permet
l’approximation des probabilit´ es li´ ees ` a des sommes de variables al´ eatoires.
De plus, lorsque l’on consid` ere des mod` eles statistiques, le terme d’erreur repr´ esente la somme de beaucoup d’erreurs (erreurs de mesure, variables non
consid´ er´ ees, etc.). En prenant comme justification le th´ eor` eme central limite,
ce terme d’erreur est souvent suppos´ e se comporter comme un loi normale.