4 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
1.6
Probl` eme pos´ e par le Chevalier de M´ er´ ee ` a Pascal en 1654.
Quel est l’´ ev´ enement le plus probable : obtenir au moins 1 fois 1 as en lan¸ cant
4 fois un d´ e ou obtenir au moins 1 fois 1 double as en lan¸ cant 24 fois 2 d´ es?
1.7
On consid` ere 3 ´ ev´ enements A, B, et C.
1. `
A l’aide d’un dessin des ensembles A, B et C, trouver une formule permettant de calculer P (A∪B ∪C) si l’on connaˆ ıt les probabilit´ es de chacun
de ces ´ ev´ enements et les probabilit´ es des intersections de ces ´ ev´ enements.
2. D´ emontrer cette formule `
a partir des axiomes de la th´ eorie des probabilit´ es.
1.8
On consid` ere une famille avec 2 enfants. On suppose que la venue d’une fille
est aussi certaine que celle d’un gar¸ con.
1. Quelle est la probabilit´ e que les 2 enfants soient des gar¸ cons sachant que
l’aˆ ın´ e est un gar¸ con?
2. Quelle est la probabilit´ e que les 2 enfants soient des gar¸ cons sachant qu’au
moins un des enfants est un gar¸ con?
1.9
On jette 2 d´ es ´ equilibr´ es.
1. Quelle est la probabilit´ e qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant
que les 2 r´ esultats sont diff´ erents?
2. Quelle est la probabilit´ e qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant
que leur somme vaut i ? Calculer le r´ esultat pour toutes les valeurs possibles de i.
Probabilit´ es totales et th´ eor` eme de Bayes
1.10
Un certain syst` eme a 5 composantes. Une panne du syst` eme est caus´ ee
35 %, 30 %, 20 %, 10 % et 5 % des fois par une panne dans les composantes
1.6
Probl` eme pos´ e par le Chevalier de M´ er´ ee ` a Pascal en 1654.
Quel est l’´ ev´ enement le plus probable : obtenir au moins 1 fois 1 as en lan¸ cant
4 fois un d´ e ou obtenir au moins 1 fois 1 double as en lan¸ cant 24 fois 2 d´ es?
1.7
On consid` ere 3 ´ ev´ enements A, B, et C.
1. `
A l’aide d’un dessin des ensembles A, B et C, trouver une formule permettant de calculer P (A∪B ∪C) si l’on connaˆ ıt les probabilit´ es de chacun
de ces ´ ev´ enements et les probabilit´ es des intersections de ces ´ ev´ enements.
2. D´ emontrer cette formule `
a partir des axiomes de la th´ eorie des probabilit´ es.
1.8
On consid` ere une famille avec 2 enfants. On suppose que la venue d’une fille
est aussi certaine que celle d’un gar¸ con.
1. Quelle est la probabilit´ e que les 2 enfants soient des gar¸ cons sachant que
l’aˆ ın´ e est un gar¸ con?
2. Quelle est la probabilit´ e que les 2 enfants soient des gar¸ cons sachant qu’au
moins un des enfants est un gar¸ con?
1.9
On jette 2 d´ es ´ equilibr´ es.
1. Quelle est la probabilit´ e qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant
que les 2 r´ esultats sont diff´ erents?
2. Quelle est la probabilit´ e qu’au moins l’un d’entre eux montre 6, sachant
que leur somme vaut i ? Calculer le r´ esultat pour toutes les valeurs possibles de i.
Probabilit´ es totales et th´ eor` eme de Bayes
1.10
Un certain syst` eme a 5 composantes. Une panne du syst` eme est caus´ ee
35 %, 30 %, 20 %, 10 % et 5 % des fois par une panne dans les composantes