4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 109
Lors de la derni` ere ´ egalit´ e, on a utilis´ e l’ind´ ependance entre les N i | B = b.
On remplace maintenant les fonctions de distribution correspondantes
pour obtenir
P (N 1 = 0, N 2 = 0, N 3 = 0) =
∞
0
e
−3b
· 10e
−10b db
=
∞
0
10e
−13b db = −
10
13
e
−b
b=∞
b=0
=
10
13
.
2. Si K = k, cela signifie que l’automobiliste n’a pas eu d’accident pendant
les k − 1 premi` eres ann´ ees et qu’il en a eu au moins un pendant la k
e .
Donc
P (K = k) = P (N k ≥ 1, N k−1 = 0, . . . , N 1 = 0)
=
∞
0
P (N k ≥ 1, N k−1 = 0, . . . , N 1 = 0 | B = b)f B (b)db
=
∞
0
(1 − e
−b )e
−b(k−1)
· 10e
−10b db
=
∞
0
10
e
−(9+k)b
− e
−(10+k)b
db
= 10
−
1
9 + k
e
−(9+k)b
−
1
10 + k
e
−(10+k)b
b=∞
b=0
=
10
(9 + k)(10 + k)
.
3. On peut ´ eviter le calcul de l’esp´ erance conditionnelle de K | B = b en
remarquant que K | B = b suit une loi g´ eom´ etrique avec probabilit´ e
p = 1 − e
−b . On utilise alors simplement l’esp´ erance d’une telle loi :
E(K | B = b) =
1
p
=
1
1 − e −b .
4.23
1. E(Y (α)) = E(αD + (1 − α)N ) = 10α + (1 − α)3 = 7α + 3 et
var(Y (α)) = var(αD) + var((1 − α)N ) + 2α(1 − α) cov (D,N )
= 2α
2 + (1 − α)
2 + 2α(1 − α)
√
2 · 0,8
= 0,74α
2 + 0,26α + 1.
2. La somme de variables al´ eatoires normales suit une loi normale. Donc,
grˆ ace au point 1., Y (α) ∼ N (7α + 3, 3α
2
− 2α + 1).
3. On voit en 1
er lieu que −Y (α) ∼ N (−7α − 3, 3α
2
− 2α + 1), et ensuite
Z = e
−Y (α)
∼ log N (−7α − 3, 3α
2
− 2α + 1), par d´ efinition de la loi
log-normale.