108 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Quant `
a la variance de Y
var(Y ) = E(Y
2 ) − E
2 (Y ) = E(Y
2 )
= P (X = N ) · E
2 (Y | X = N ) + P (X = E) · E
2 (Y | X = E)
= 0,95 · 1 + 0,05 · 5
2 = 2,2.
3. L’esp´ erance de Z est
E(Z) = E(log(R)) = E
−
σ
2
2
+ σY
= −
σ
2
2
+ σE(Y ) = −
σ
2
2
et sa variance
var(Z) = var(log(R)) = var
−
σ
2
2
+ σY
= σ
2 var(Y ) = 2,2σ
2 .
4. En utilisant la formule des probabilit´ es totales, on peut ´ ecrire
f Y (y) = P (X = N ) · f Y |X=N (y) + P (X = E) · f Y |X=E (y)
et comme on se retrouve avec une somme de 2 lois normales, on en d´ eduit
que
Y ∼ N (0, 2,2).
5. Nous savons que
Z = log(R) ∼ N
−
σ
2
2
, 2,2σ
2
et donc
R = exp(Z) ∼ log N
−
σ
2
2
, 2,2σ
2
.
4.22
Soit N i le nombre d’accidents durant l’ann´ ee i pour un automobiliste et B
un indicateur de la qualit´ e de conduite. On sait que B suit une loi exponentielle
avec esp´ erance 0,1 et que N i | B = b suit une loi de Poisson de param` etre b.
On suppose de plus que les N i | B = b sont ind´ ependants.
1. On cherche la probabilit´ e qu’un automobiliste n’ait pas d’accident pendant les 3 premi` eres ann´ ees d’observation
P (N 1 = 0, N 2 = 0, N 3 = 0) =
=
∞
0
P (N 1 = 0, N 2 = 0, N 3 = 0 | B = b)f B (b)db
=
∞
0
P (N 1 = 0 | B = b)
3 f B (b)db.