4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 107
Comme Z et X ne sont pas ind´ ependants, on utilise le fait que Z = X +Y
et on obtient
P (X = x | Z = z) =
P (X = x)P (Y = z − x)
P (Z = z)
=
n
x
m
z − x
m + n
z
,
d’o` u X | Z suit une loi hyperg´ eom´ etrique.
3. L’esp´ erance de X | Z = z est
E(X | Z = z) =
nz
m + n
,
et, par cons´ equent
E(X | Z) =
n
m + n
Z.
4.20
La fonction de r´ epartition de Z est
F Z (z) = P (X + Y < z) = P (X < z − Y )
=
∞
−∞
z−y
−∞
f X (x)dx
f Y (y)dy =
∞
−∞
F X (z − y)f Y (y)dy,
et sa d´ eriv´ ee
f Z (z) =
∞
−∞
f X (z − y)f Y (y)dy.
Ici, la difficult´ e r´ eside dans les bornes de l’int´ egrale car, X et Y suivant des
lois uniformes (0, 1), l’int´ egrant est simplement ´ egal `
a dy. On sait que Z peut
varier entre 0 et 2 car Z = X + Y . Comme 0 < z − y < 1 et 0 < y < 1,
f Z (z) =

 
 
0
z−1
0dy +
z
0
dy = z
si 0 ≤ z < 1
1
z−1
dy +
z
1
0dy = 2 − z si 1 ≤ z < 2
0
s i n o n .
4.21
1. La distribution conditionnelle postul´ ee signifie qu’il y a plus de volatilit´ e
en p´ eriode d’incertitude.
2. Calculons l’esp´ erance de Y en utilisant les esp´ erances conditionnelles
E(Y ) = E(E(Y | X)) =
= P (X = N ) · E(Y | X = N ) + P (X = E) · E(Y | X = E)
= 0,95 · 0 + 0,05 · 0 = 0.