106 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
ρ 12 = 0,5
a 1 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
µ p 8,00 9,20 10,40 11,60 12,80 14,00
σ p 3,00 3,17 3,65 4,33 5,13 6,00
ρ 12 = −1
a 1 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
µ p 8,00 9,20 10,40 11,60 12,80 14,00
σ p 3,00 1,20 0,60 2,40 4,20 6,00
5. Les courbes sont repr´ esent´ ees dans la figure 4.5.
4.18
Soient N une variable al´ eatoire qui compte le nombre de clients par jour et
X i une autre qui mesure les d´ epenses en francs du i
e client. On sait d’ores et d´ ej` a
que E(N ) = 50 et E(X i ) = 8. Le chiffre d’affaire quotidien est S =
N
i=1 X i .
On ne peut en calculer directement l’esp´ erance car la borne sup´ erieure de sommation est une variable al´ eatoire. Pour contourner ce probl` eme, on calcule
d’abord l’esp´ erance conditionnelle de S | N = n et on en prend ensuite l’esp´ erance par rapport `
a N
E S (S) = E N (E S|N (S | N )) = E N
E S|N
n
i=1
X i
= E N (N E(X 1 )) = E(N )E(X 1 ) = 400,
o` u l’on a utilis´ e l’ind´ ependance entre X 1 et N . L’esp´ erance du gain quotidien
est de 400 e.
4.19
1. On veut trouver la distribution de la somme Z de 2 variables al´ eatoires
binomiales ind´ ependantes X et Y . Utilisons la fonction g´ en´ eratrice des
moments
φ Z (t) = φ X (t)φ Y (t) = (pe
t + 1 − p)
n (pe
t + 1 − p)
m = (pe
t + 1 − p)
m+n ,
ce qui implique que Z suit une loi binomiale de param` etres (m + n, p).
2. La probabilit´ e d’observer X = x | Z = z s’´ ecrit
P (X = x | Z = z) =
P (X = x, Z = z)
P (Z = z)
.