4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 105
mu_p [%]
sigma_p [%]
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
rho=0
rho=0.5
rho=-1
rho=1
Fig. 4.5 – Courbes des portefeuilles possibles dans l’espace des
risques et des rendements (exercice 4.17).
3. Le rendement moyen du portefeuille µ p est une fonction de a 1 :
µ p = a 1 µ 1 + (1 − a 1 )µ 2 ⇔ a 1 =
µ p − µ 2
µ 1 − µ 2
.
On substitue cette derni` ere ´ equation dans l’expression de σ
2
p pour avoir
σ
2
p =
= (σ
2
1 − 2σ 1 σ 2 ρ 12 + σ
2
2 )
µ p − µ 2
µ 1 − µ 2
2
− 2(σ
2
2 − σ 1 σ 2 ρ 12 )
µ p − µ 2
µ 1 − µ 2
+ σ
2
2
=
σ
2
1 − 2σ 1 σ 2 ρ 12 + σ
2
2
(µ 1 − µ 2 ) 2
µ
2
p − 2
µ 2 σ
2
1 + µ 1 σ
2
2 − (µ 1 − µ 2 )σ 1 σ 2 ρ 12
(µ 1 − µ 2 ) 2
µ p
+
µ
2
2 σ
2
1 + µ
2
1 σ
2
2 − 2µ 1 µ 2 σ 1 σ 2 ρ 12
(µ 1 − µ 2 ) 2
4. ρ 12 = 1
a 1 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
µ p 8,00 9,20 10,40 11,60 12,80 14,00
σ p 3,00 3,60 4,20 4,80 5,40 6,00