4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 103
2. De mˆ eme, on calcule la distribution conditionnelle de D | S = s
f D|S=s (s) =
f D,S (s, d)
f S (s)
=
1
2πστ exp
−
1
2
σ
2 +τ
2
σ 2 τ 2 (d − ν)
2
− 2
(d−ν)(s−ν)
σ 2
+
1
σ 2 (s − ν)
2
1
√
2π(σ 2 +τ 2 )
exp
−
1
2
1
σ 2 +τ 2 (s − ν) 2
=
1
√
2π
σ 2 + τ 2
σ 2 τ 2 exp
−
1
2
σ
2 + τ
2
σ 2 τ 2 (d − ν)
2
−2
(d − ν)(s − ν)
σ 2
+
τ
2
σ 2 (σ 2 + τ 2 )
=
1
√
2π
σ 2 + τ 2
σ 2 τ 2 exp

 −
1
2
σ 2 + τ 2
σ 2 τ 2 (d − ν) −
τ
σ
√
σ 2 + τ 2
2


=
1
√
2π
σ 2 + τ 2
σ 2 τ 2 exp
−
1
2
σ
2 + τ
2
σ 2 τ 2
d − ν −
τ
2
σ 2 + τ 2 (s − ν)
2
.
Par cons´ equent
D | S = s ∼ N
ν +
τ
2
σ 2 + τ 2 (s − ν),
σ
2 τ
2
σ 2 + τ 2
.
3. Le meilleur pr´ edicteur est donn´ e par l’esp´ erance conditionnelle
E(D | S = s) = ν +
τ
2
σ 2 + τ 2 (s − ν) =
σ
2
σ 2 + τ 2 ν +
τ
2
σ 2 + τ 2 s.
4.15
Soient X 1 , . . . ,X n des variables al´ eatoires de Bernoulli ind´ ependantes valant 1 avec une probabilit´ e p. La variable al´ eatoire S est alors la somme de ces
variables, S =
n
i=1 X i , et par cons´ equent
E(S) = E
n
i=1
X i
=
n
i=1
E(X i ) = np,
et
var(S) =
n
i=1
var(X i ) = np(1 − p).
4.16
Notons φ X (t) = E (e
tx ) la fonction g´ en´ eratrice des moments d’une variable
al´ eatoire X. On utilise pour cet exercice la relation
φ S (t) = (φ X1 (t))
n ,