102 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
Notons que X − µ X ∼ N (0, σ
2
X ) et que par cons´ equent
σ Y
σ X
ρ XY (X − µ X ) ∼ N (0, σ
2
Y ρ
2
XY ).
Finalement
Z ∼ N (µ Y , σ
2
Y ρ
2
XY ).
4.14
Nous savons que D ∼ N (ν, τ
2 ) et S | D = d ∼ N (d, σ
2 ).
1. Calculons la distribution conjointe de S et D
f S,D (s, d) = f S|D=d (s)f D (d) =
=
1
√
2πσ
exp
−
1
2σ 2 (s − d)
2
1
√
2πτ
exp
−
1
2τ 2 (d − ν)
2
=
1
2πστ
exp
−
1
2
s
2
σ 2 +
1
σ 2 +
1
τ 2
d
2
− 2
sd
σ 2 − 2
dν
τ 2 +
ν
2
τ 2
=
1
2πστ
exp
−
1
2
1
σ 2 (s − ν)
2 +
2
σ 2 sν −
1
σ 2 ν
2 +
σ
2 + τ
2
σ 2 τ 2 (d − ν)
2
+2
σ
2 + τ
2
σ 2 τ 2 dν −
σ
2 + τ
2
σ 2 τ 2 ν
2
− 2
sd
σ 2 − 2
dν
τ 2 +
ν
2
τ 2
=
1
2πστ
exp
−
1
2
1
σ 2 (s − ν)
2 +
σ
2 + τ
2
σ 2 τ 2 (d − ν)
2
+2
sν
σ 2 + 2
sν
σ 2 − 2
sd
σ 2 − 2
ν
2
σ 2
=
1
2πστ
exp
−
1
2
(s − ν,d − ν)Σ
−1
s − ν
d − ν
,
o` u
Σ
−1 =
1
σ 2
−
1
σ 2
−
1
σ 2
σ
2 +τ
2
σ 2 τ 2
, car Σ =
σ
2 + τ
2
τ
2
τ
2
τ
2
.
On en conclut que
S
D
∼ N
ν
ν
, Σ
,
et S ∼ N (ν, σ
2 + τ
2 ).