4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 101
2. L’´ equation f (x 1 , x 2 ) = C donne
x
2
1 + x
2
2 = −2 log(2πC)
qui se trouve ˆ etre l’´ equation d’un cercle centr´ e sur l’origine et de rayon
−2 log(2πC) pour C < 1.
4.13
La densit´ e conjointe de X et Y est
f X,Y (x, y) =
1
2π
|Σ|
exp
−
1
2
(x − µ X ,y − µ Y )Σ
−1
x − µ X
y − µ Y
,
avec
Σ =
σ
2
X
σ X σ Y ρ XY
σ X σ Y ρ XY
σ
2
Y
et
Σ
−1 =
1
σ 2
X (1−ρ 2
XY )
−
ρXY
σX σY (1−ρ 2
XY )
−
ρXY
σX σY (1−ρ 2
XY )
1
σ 2
Y (1−ρ 2
XY )
.
1. On calcule f Y |X=x (y)
f Y |X=x (y) =
f X,Y (x,y)
f X (x)
=
=
1
2πσX σY
√
1−ρ 2
XY
exp
−
1
2 (x − µ X ,y − µ Y )Σ
−1
x − µ X
y − µ Y
1
√ 2πσX
exp
−
1
2σ 2
X
(x − µ X ) 2
=
1
σ Y
2π(1 − ρ 2
XY )
exp
−
1
2(1 − ρ 2
XY )
(y − µ Y )
2
σ 2
Y
−2
ρ XY
σ X σ Y
(x − µ X )(y − µ Y ) +
1 − (1 − ρ
2
XY )
(x − µ X )
2
σ 2
X
=
1
σ Y
2π(1 − ρ 2
XY )
exp
−
1
2(1 − ρ 2
XY )
y − µ Y
σ Y
− ρ XY
x − µ X
σ X
2
et on voit que
Y | X ∼ N
µ Y +
σ Y
σ X
ρ XY (x − µ X ), σ
2
Y (1 − ρ
2
XY )
.
2. La variable al´ eatoire Z = E(Y | X) est d´ efinie par
Z = E(Y | X) = µ Y +
σ Y
σ X
ρ XY (X − µ X ).