100 Maˆ ıtriser l’al´ eatoire
4.11
1. La densit´ e marginale de X est ´ egale `
a la densit´ e conjointe int´ egr´ ee sur le
domaine de Y
f X (x) =
6
0
1
756
(x
2 + xy)dy =
1
126
(x
2 + 3x).
2. La densit´ e conditionnelle de Y | X = x est le rapport entre la densit´ e
conjointe et la densit´ e marginale de X
f Y |X=x (y) =
1
6
x + y
x + 3
.
3. On calcule `
a pr´ esent la probabilit´ e que X soit inf´ erieur ` a Y . On r´ esout
donc l’int´ egrale suivante
P (X < Y ) =
6
0
y
0
1
756
(x
2 + xy)dx
dy =
6
0
5
4536
y
3 dy =
5
14
.
4. Commen¸ cons par trouver l’esp´ erance de Y | X = x
E(Y | X = x) =
6
0
yf Y |X=x (y)dy =
6
0
1
6
xy + y
2
x + 3
dy = 3
x + 4
x + 3
.
On cr´ ee maintenant une nouvelle variable al´ eatoire Z = E(Y | X) d´ efinie
sur le domaine ]10/3, 4[. La fonction de r´ epartition de Z est
F Z (z) = P (Z < z) = P
3
x + 4
x + 3
< z
=
= P
X > 3
z − 4
3 − z
= 1 − F X
3
z − 4
3 − z
.
On en d´ eduit sa fonction de densit´ e f Z (z)
f Z (z) = −f X
3
z − 4
3 − z
d
dz
3
z − 4
3 − z
= −
27
142
3
z − 4
(z − 3) 4 .
Finalement
E(Z) =
4
10/3
zf Z (z)dz =
63
71
.
4.12
1. Comme toutes les variables al´ eatoires sont ind´ ependantes, la densit´ e conjointe est le produit des densit´ es marginales
f (x 1 , . . . , x n ) =
1
2π
n/2
exp
−
1
2
n
i=1
x
2
i
.