4. Variables al´ eatoires multivari´ ees 99
4.10
1. Pour d´ eterminer la densit´ e marginale de X, on int` egre la densit´ e conjointe
sur le domaine de Y
f X (x) =
∞
−∞
3
√
3
4π
exp
−
3
2
(x
2 + y
2
− xy)
dy
=
3
√
3
4π
exp
−
3
2
x
2
∞
−∞
exp
−
3
2
(y
2
− xy)
dy.
Dans la derni` ere int´ egrale, on compl` ete le carr´ e afin de faire apparaˆ ıtre
la densit´ e d’une variable al´ eatoire normale et on obtient
f X (x) =
=
3
√
3
4π
exp
−
3
2
x
2 +
3
8
x
2
2π
3
∞
−∞
1
√
2π
√
3 exp
−
3
2
y −
x
2
2
dy
=1
=
3
2
√
2π
exp
−
9
8
x
2
.
On voit donc que X ∼ N (0, 4/9). La fonction de densit´ e conjointe est
sym´ etrique en x et y et il est donc inutile de calculer la densit´ e marginale
de Y ; c’est la mˆ eme que celle de X
f Y (y) =
3
2
√
2π
exp
−
9
8
y
2
.
Ainsi, Y ∼ N (0, 4/9).
2. On v´ erifie facilement que le produit des densit´ es marginales est diff´ erent
de la densit´ e conjointe, ce qui signifie que les variables al´ eatoires X et Y
ne sont pas ind´ ependantes.
3. La densit´ e conditionnelle de X | Y = y s’´ ecrit
f X|Y =y (x) =
f X,Y (x,y)
f Y (y)
=
3
√ 3
4π exp
−
3
2 (x
2 + y
2
− xy)
3
2
√
2π
exp
−
9
8 y 2
=
3
2π
exp
−
3
2
x
2 +
1
4
y
2
− xy
=
3
2π
exp
−
3
2
x −
y
2
2
,
et par cons´ equent, X | Y = y ∼ N (y/2, 1/3).
4. L’esp´ erance de X | Y = y est directement donn´ ee par le calcul pr´ ec´ edent :
elle vaut E(X | Y = y) = y/2. La variable al´ eatoire U = E(X | Y ) = Y/2
suit une loi normale d’esp´ erance nulle et de variance 1/9.