On iniegrera 3ur 0 (enire Oil iO et $ (encrc 0 et 2rc ) pour parcourir la surface de 9a sphere . Avcc
U = 0 r ,co5tf > on obticnt :
dS
fl
’ r
| cos - ftsinddtf X I ddi
wi
e . - //
_ -
K -sinfldHdp coaS _ - g 0
RJ
" 4w,
dfc
3
PtSpfclCK
4nc ,
re
g . , cos
^
Gj
1 _ _ _o
2E
3 J *
" V
-
4n f ,.
E . =
cos20d tcosftj X 2JI = s
= n
q » - P
E(0 >
"
- H ,
1
Exprcice 10
1 ) La dlsudbuiion esc surfacique, done le champ E cree en M par cetre distribution eat dellni ei
cominu panout sauf sur les charges : or ne 1c calcukra pas au point 0.
L
' enonec propose un syslcmc d'am de coordonnccs cartMiennes : gardens nous de le contredfirC
(la geotnetrie du. ruban est conform a ce choix) , Les. plans. (Qxy) ei (Oxs) som plans de synrkcrie
pour certe distribution. Lc champ E en M esc done nidus , dans Icur intersection (Or) :
^ = E« * .
2 ) Commc on ne connaii pas la direction de E cn tout point de respace, le theoreme de Gauss ne
dunnera rien , II faut done passer par un aLLcul * direct » ,
La demarche physique esc de deeouper le ruban en. fils - reciilign. es. On connaii en effec Texpression
du champ clcctrosratique cree par un fit rectilignc (voir les applications 9 ou 3 de ce chapitre). II
restera a summer les champs des fils consecutifs. Le but de cetie demarche est de ne pas avoir a
calculer une integrate double indigcstc, d ’ autant plus que Ecxprcsaion du champ clcccrostataquc
crce par on fil a etc afcscz simplement obtenue dans [ ' application 3 » grace au theoremc de Gauss.
L ’ n. fil est defini par une epaisseur infinitesimale dy de
ruban , Une longueur unite / = 1 m de ruban pone la
charge dq = ffdS = tfdy * t - < ldy . On defmit pour lc fil
une density linesque X telle que la charge que posaede
son unite de longueur est X. La. densite Uneique du EL
defini par one bade dkpats«ux infinitcsimalc diccoupc
dans le ruban est done X —
ody..
21
*
*
V
a ! |p
>
“ i
. J
1 k
Le champ crce par le fil est done elcmcntaire * cl on en
reprend 1 ' expression calculcc dans les applications I
ou 3 t
E(M) - — j/ f suit ici dE(M) —
2Jt£ Mr
-
a
’
M
dE
* 1 r
gjy T+
2n£„r
r — PMS P cUnt lc projetc orthogonal de M sur le * fil i.
PM
II
I
zji avee u =
* Y
3
PM.
II reste i prujeter sur I ' axe (Osr) et soitamer ces composantes * utiles » pour avoir le champ total E !
.
>
PM J/.. _ gdy ( PO + OM) » 3 _ erdy s
dE. -
ou £ est la cote de M fJlxevy,
2TK 0 y t- T
1 '
2
* ^
PMi
FMJ
2JK ( ,
E , = JdE , = - r
a
dy
CTET
1
a
— arcta
arctan
—
,
2w
2 wr , s
= Lan ( —
rt | ). Done axctan| 1 =
z
Maas remarquons que — = tanft
= 0: ? ct le champ s ' ccrit :
2
:
EfM ) = -- arCLicil - I it = it
JK „
Z
aii ft. est le dcmi- anElc sous leujud! an vok la largcur du ruban depuis M.
Copyrighted material
Chipitra ? : Iff chLamip eliffc
^
rwt
^
liquff
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II reste i prujeter sur I ' axe (Osr) et soitamer ces composantes * utiles » pour avoir le champ total E !
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