I ] rcstc i calculcr La charge sc trouvant i Finteriew de la surface dc Gauss, Deux cas sont a dis -
tinguer, scion que M He truuve k ] Finterieur uu li IVxtericur de la distribution.
Dans le premier cas > les charges mnLcrnees ne stmt qu ’ une parde de la charge Locale de la distribution et la totaliie du volume delimiie par la surface de Gauss contient des charges :
ijr * * t = JJJv 0< !V = oJJJvdV = pv = p
Dans 1c swond ca - S * la. ( OtalitC de la charge de la distribution sc rrouve a Tantencur de la surface de
Gauss j. laquelle n ' est plus entierement remplie. II vdent done :
R) = f’
^
R ’
On applique mamteiuuit le theoreme dc Gauss dais chacun des deux egs precedents :
JLTII
o = E+ jtr 1 =
i >4nf
E, i
|i
i $ =
- Pour r > R : £ m ( p- : > R. ) = rR* ; $ -
i E (r < R l =
d’ ou ; E( r < R) = - & - u .
K
H.
r
- Pnur r < R : $ .. , 0
'
Rj =
p4nR *
pR*
P *Lu
3«
^
T
]
r
dhou : E(r > R) -
i Efr > Rl = i£ r 3 ’
c
*
G «
pf *
3rLa eourbe dorme Its variations ds E er fonction de
c idles J L r. On venfk qu1 - Lc champ at contimi.
n
r
Exercice 3
1) Cherchons les plans de symetrie, Tout plan comenant Faxc ( Oar) cst pim dc symetrie pour la distribution
(ici les deux plans tt ^
et Jta ). Lfnterseerion de Lous ces
plans esc la droiie (O#}, done cn tout point M dc I ' aw
CO? ) i lc champ E esc porte par cet axe : E = E u .
2) On ne peut pas trouver de surface de Gauss car on
ne eonnait la direction du champ E que sur I ' m ( O z ) :
cn dehors dc cet axe * on nc peut plus trouver qu ' un scul
plan de syflifeuie, ce qui est msufFisani pour trouver h direction dc li - De plus, il rfy a qu ’ une seuLe
invariance par rotation, ce qui cmpechc dc trouver une surface pour laquelle E reste constant.
!
M E jX
aLX
*
7T
II. faut done proceder au. calctil a direct * du champ. La distribution eiatu lineique ^
M i PM
r 4 jE £ n PM -
hf . U) = I
On sail ( jue le champ KBulanc est diri
^
e suivant (Oc) ,
On prelate done cheque champ clcmcnifiirt mr «c ame
pour avoir sa contribution au champ total
^
Lomp ( Han [ tL
+ wlilc * ) ;
Adi PM it ]
4 * ^
Or : PM - = CPO + OM)- t t
\ = i ei
dE u \ = dEz =
PM*
PM
“ \ ft- "I- £- , d ' j ' lLL :
> .df
dPc = 4 jtf 0 (\ R- +
C0pv
' l
'
i C|l
"
i tu
E. ^ erc?H]&s
tinguer, scion que M He truuve k ] Finterieur uu li IVxtericur de la distribution.
Dans le premier cas > les charges mnLcrnees ne stmt qu ’ une parde de la charge Locale de la distribution et la totaliie du volume delimiie par la surface de Gauss contient des charges :
ijr * * t = JJJv 0< !V = oJJJvdV = pv = p
Dans 1c swond ca - S * la. ( OtalitC de la charge de la distribution sc rrouve a Tantencur de la surface de
Gauss j. laquelle n ' est plus entierement remplie. II vdent done :
R) = f’
^
R ’
On applique mamteiuuit le theoreme dc Gauss dais chacun des deux egs precedents :
JLTII
o = E+ jtr 1 =
i >4nf
E, i
|i
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- Pour r > R : £ m ( p- : > R. ) = rR* ; $ -
i E (r < R l =
d’ ou ; E( r < R) = - & - u .
K
H.
r
- Pnur r < R : $ .. , 0
'
Rj =
p4nR *
pR*
P *Lu
3«
^
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r
dhou : E(r > R) -
i Efr > Rl = i£ r 3 ’
c
*
G «
pf *
3rLa eourbe dorme Its variations ds E er fonction de
c idles J L r. On venfk qu1 - Lc champ at contimi.
n
r
Exercice 3
1) Cherchons les plans de symetrie, Tout plan comenant Faxc ( Oar) cst pim dc symetrie pour la distribution
(ici les deux plans tt ^
et Jta ). Lfnterseerion de Lous ces
plans esc la droiie (O#}, done cn tout point M dc I ' aw
CO? ) i lc champ E esc porte par cet axe : E = E u .
2) On ne peut pas trouver de surface de Gauss car on
ne eonnait la direction du champ E que sur I ' m ( O z ) :
cn dehors dc cet axe * on nc peut plus trouver qu ' un scul
plan de syflifeuie, ce qui est msufFisani pour trouver h direction dc li - De plus, il rfy a qu ’ une seuLe
invariance par rotation, ce qui cmpechc dc trouver une surface pour laquelle E reste constant.
!
M E jX
aLX
*
7T
II. faut done proceder au. calctil a direct * du champ. La distribution eiatu lineique ^
M i PM
r 4 jE £ n PM -
hf . U) = I
On sail ( jue le champ KBulanc est diri
^
e suivant (Oc) ,
On prelate done cheque champ clcmcnifiirt mr «c ame
pour avoir sa contribution au champ total
^
Lomp ( Han [ tL
+ wlilc * ) ;
Adi PM it ]
4 * ^
Or : PM - = CPO + OM)- t t
\ = i ei
dE u \ = dEz =
PM*
PM
“ \ ft- "I- £- , d ' j ' lLL :
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C0pv
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