Solution
* 0 La surface esi ilteritt par unc rotation autnur dc Paxe d ' un cylindrc : on iravaille done en eoor -
donnees cylindriqucs (r, ft, z ) , On prend eummt: axe Oz I
1 axe die revolution du cyLindrq , Q erant
Ic centre dc la base inferieure du cyltndre.
> Comme on calrule unc surface; , deux coordaimees variem , Ainsu rresie consmm (r - R), tan -
das que 6 varie SILT un iniervalle dc 20 et z varie sur unc hauteur ft.
1 Four une variation elemeniaire dG et dz * l/element de longueur s'ecric respeedvement Rd0 ci de.
L ' clcTnenr dc surface a .imegrer mui done : dS = RdO x dr.
O La surface S sc calcule par Hntcgralc double :
2 *
r A
J _ J _ = R x of > 4 * 1
!= ana * .
S = jjdS = 11 RdO ^
tir ; = H. J da n
B = U
~¥ Application %
Calculcr , au moycn cTunc LuiegraLe Triple, it volume V d ’ une sphere dt rayon R et dc hautenr h
Solution
O I.C volume CH - t detnT nntsmmcni par deux l - oc ^
l [ jo US Judour du ( . - enln ; dc ku sphere : on travaiJJe
dotlC 40 COOrdunncts spbitique * (r, G, ipj. On prend commu origins Q Lc ccnirc d- C lfl. &phirt .
tt Com me on calcule un volume, Its trois coordcmnlies variant . Ainsi, r vane entrc 0 cr K. ft varie
de 0 a 7T « (f vnrie sur un mtcrvalLu: JL: 2rt.
© Pour une variation eLementairu Jr, dft ct d- o. I’cdcmcnt dc Inngueur cuirrespondam sj ’etrii res -
pcccivcniem dr, rdG ei rsinGild ) .
UcUmcnt dc voiumc j imegrer van L done : dV m drx rdQ x rsinCkltfj .
O IJC volume V sc cakulc psr Pintcgrale triple :
dr x rdti X rSiilthl (p = I r f d r X
Jr- = D
R
I - sinOdft x | dft “
- «= i>
v = f
V = —
)t 2 x 2x = 4nft*.
Suit :
1
mi
U ODy WScfhfedis