»
¼
º
«
¬
ª
¦
¦
¦
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
x
N
x
n
a
x
a
N
x
a
n
y
N
y
n
y
V
i
i
i
i
i
i
soit
)
(
)
(
2
x
V
a
y
V
.
L'écart-type est multiplié par le facteur a et la variance par le carré du
facteur.
2.4.2.2. addition d’une constante
Si on ajoute une constante b à un caractère x, qu'advient-il de la variance
et de l'écart-type du caractère ?
Soit y = x + b
x
x
b
x
b
x
y
y
i
i
et
b
x
y
alors
N
b
x
b
x
n
N
y
y
n
y
V
i
i
i
i
¦
¦
2
2
)
(
)
(
)
(
soit,
)
(
)
(
x
V
y
V
L'écart-type et la variance du caractère ne sont pas modifiés
2.4.2.3. transformation linéaire
Si on combine les deux opérations précédentes, soit
b
ax
y
, on
obtient pour la variance et l'écart-type les résultats suivants :
)
(
)
(
2
x
V
a
y
V
2.4.2.4. La variance et l’écart-type sont toujours positifs.
2
1
)
(
1
)
(
)
(
x
x
n
N
x
V
x
k
i
i
¦
V
En effet, dans le calcul de la variance interviennent les carrés des écarts
et les effectifs, et l'écart-type est une racine carrée.
L’écart-type peut être considéré comme la moyenne quadratique des
écarts à la moyenne arithmétique.
2.4.3. Le coefficient de variation
L’écart-type présente, comme l’intervalle interquartile, une limite en tant
qu’indicateur de dispersion.
CHAPITRE 2 : INDICATEURS - 71