y et y ˆ sont confondus ; la variance expliquée et la variance totale sont
égales et R² est égal à 1.
La variance expliquée de y est toujours inférieure ou égale à la variance
totale de y et donc
1
)
(
)
ˆ
(
2
d
y
V
y
V
R
Par contre, si les points du nuage sont éloignés de la courbe de tendance,
la variance expliquée sera faible par rapport à la variance totale.
R² sera proche de 0, ce qui traduira le mauvais ajustement, sauf dans le
cas où x et y sont des variables indépendantes. Ainsi quand
O
y
, avec
O constante, la représentation graphique de y est une droite horizontale,
et un nuage de points (x, y) proche de cette droite aura un très bon
ajustement à la droite, avec un coefficient de détermination nul.
3.2. Le coefficient de corrélation linéaire
Quand la courbe de tendance est une droite (y=ax+b), on peut formuler
R² autrement :
La droite passe par le point moyen
)
,
( y
x
(cf. annexe 1), soit :
b
x
a
y
)
(
ˆ
b
x
a
b
ax
y
y
i
i
x
a
ax
y
y
i
i
ˆ
=
)
(
x
x
a i
donc variance expliquée
)
ˆ
( y
V
n
y
y
i
i
¦
2
)
ˆ
(
)
ˆ
( y
V
n
x
x
a i
i
2
2
)
(
¦
=
2
a
n
x
x
i
i
2
)
(
¦
=
)
(
2
x
V
a
Comme : a
)
(
)
,
(
x
V
y
x
Cov
2
a =
2
2
)
(
))
,
(
(
x
V
y
x
Cov
134 - INTRODUCTION À LA STATISTIQUE DESCRIPTIVE