Une fonction de type exponentielle y = e
x sera plus appropriée.
Pour ces cas de nuages ne s’approchant pas d’une droite, on va
néanmoins chercher à se ramener à l’équation d’une droite.
2.2.2. Ajustement à une fonction exponentielle
On va chercher par un changement de variable à se ramener à l’équation
d’une droite.
Une fonction exponentielle s’écrit :
ax
be
y
, ce qui donne quand on
cherche le logarithme népérien de cette expression :
ax
b
e
b
be
y
ax
ax
)
ln(
)
ln(
)
ln(
)
ln(
)
ln(
Si on pose B= ln(b) (constante) et Y= ln(y), on obtient Y = ax + B qui
est l’équation d’une droite.
Le nuage (x, ln(y)) est donc aligné quand le nuage (x, y) s’ajuste à une
fonction exponentielle.
On peut se servir des résultats vus pour le calcul des coefficients a et B.
On a comme paramètres de la droite :
)
(
))
ln(
,
(
x
V
y
x
Cov
a
et
B
x
a
Y
En fait le modèle y=ax+b est dit linéaire relativement aux paramètres a
et b et non en x et y qui sont des données résultant des observations.
C’est pourquoi on peut transformer les variables x et y.
2.2.3. Ajustement à une fonction puissance
Une fonction puissance s’écrit :
a
bx
y
avec a > 0 soit, en cherchant le logarithme de cette expression :
)
ln(
)
ln(
)
ln(
)
ln(
)
ln(
)
ln(
x
a
b
x
b
bx
y
a
a
Si on pose :
B=ln(b), X=ln(x) et Y=ln(y),
On obtient Y = aX + B, équation d’une droite.
Le nuage (ln(x), ln(y)) est donc aligné quand le nuage (x, y) s’ajuste à
une fonction puissance.
CHAPITRE 3 : ASSOCIATION DE VARIABLES - 125