274
An Introduction to Beam Physics
Similarly, we have
n−1
m=1
cos [(n − m)μ x ] cos (mμ y ) =
n−1
m=0
cos [(n − m)μ x ] cos (mμ y ) − cos (nμ x )
=
1
2
cos
1
2
n (μ x + μ y )
cos
1
2
(μ x − μ y )
sin [n (μ x − μ y ) /2]
sin [(μ x − μ y ) /2]
+ cos
1
2
n (μ x − μ y )
cos
1
2
(μ x + μ y )
sin [n (μ x + μ y ) /2]
sin [(μ x + μ y ) /2]
− cos
1
2
n (μ x + μ y )
cos
1
2
n (μ x − μ y )
,
so we obtain when μ y → ±μ x + 2πN,
n−1
m=1
cos [(n − m)μ x ] cos (mμ y ) →
1
2
(n − 1) cos (nμ y ) +
sin [(n − 1) μ y ]
sin μ y
.
Furthermore, we have
n−1
m=1
sin [(n − m)μ x ] sin (mμ y ) =
n−1
m=0
sin [(n − m)μ x ] sin (mμ y )
=
1
2
− cos
1
2
n (μ x + μ y )
cos
1
2
(μ x − μ y )
sin [n (μ x − μ y ) /2]
sin [(μ x − μ y ) /2]
+ cos
1
2
n (μ x − μ y )
cos
1
2
(μ x + μ y )
sin [n (μ x + μ y ) /2]
sin [(μ x + μ y ) /2]
,
and we obtain when μ y → ±μ x + 2πN,
n−1
m=1
sin [(n − m)μ x ] sin (mμ y ) → ∓
1
2
(n − 1) cos (nμ y ) −
sin [(n − 1) μ y ]
sin μ y
.
Lastly, we have
n−1
m=1
sin [(n − m)μ x ] cos (mμ y ) =
n−1
m=0
sin [(n − m)μ x ] cos (mμ y ) − sin (nμ x )
=
1
2
sin
1
2
n (μ x + μ y )
cos
1
2
(μ x − μ y )
sin [n (μ x − μ y ) /2]
sin [(μ x − μ y ) /2]
+ sin
1
2
n (μ x − μ y )
cos
1
2
(μ x + μ y )
sin [n (μ x + μ y ) /2]
sin [(μ x + μ y ) /2]
− sin (nμ x )
,
and we obtain when μ y → ±μ x + 2πN,
n−1
m=1
sin [(n − m)μ x ] cos (mμ y ) → ±
1
2
(n − 1) sin (nμ y ) .