Resonances in Repetitive Systems
273
where
ˆ
R LL =
cos [(n − m) μ x ] sin (mμ y ) sin [(n − m) μ x ] sin (mμ y )
cos [(n − m) μ x ] cos (mμ y ) sin [(n − m) μ x ] cos (mμ y )
,
ˆ
R UR =
cos [(n − m) μ y ] sin (mμ x ) sin [(n − m) μ y ] sin (mμ x )
cos [(n − m) μ y ] cos (mμ x ) sin [(n − m) μ y ] cos (mμ x )
.
The nonzero terms in the transfer matrix can be further simplified using
trigonometric relations. Therefore we have
n−1
m=1
cos [(n − m)μ x ] sin (mμ y ) =
n−1
m=0
cos [(n − m)μ x ] sin (mμ y )
=
1
2
n−1
m=0
{sin [nμ x − m (μ x − μ y )] − sin [nμ x − m (μ x + μ y )]}
=
1
2
sin
nμ x −
1
2
(n − 1) (μ x − μ y )
sin [n (μ x − μ y ) /2]
sin [(μ x − μ y ) /2]
− sin
nμ x −
1
2
(n − 1) (μ x + μ y )
sin [n (μ x + μ y ) /2]
sin [(μ x + μ y ) /2]
=
1
2
sin
1
2
n (μ x + μ y )
cos
1
2
(μ x − μ y )
sin [n (μ x − μ y ) /2]
sin [(μ x − μ y ) /2]
+ cos
1
2
n (μ x + μ y )
sin
1
2
n (μ x − μ y )
− sin
1
2
n (μ x − μ y )
cos
1
2
(μ x + μ y )
sin [n (μ x + μ y ) /2]
sin [(μ x + μ y ) /2]
− cos
1
2
n (μ x − μ y )
sin
1
2
n (μ x + μ y )
=
1
2
sin
1
2
n (μ x + μ y )
cos
1
2
(μ x − μ y )
sin [n (μ x − μ y ) /2]
sin [(μ x − μ y ) /2]
− sin
1
2
n (μ x − μ y )
cos
1
2
(μ x + μ y )
sin [n (μ x + μ y ) /2]
sin [(μ x + μ y ) /2]
− sin (nμ y )
.
When μ y → ±μ x + 2πN (N is an integer), we obtain
n−1
m=1
cos [(n − m)μ x ] sin (mμ y ) →
1
2
(n − 1) sin (nμ y ) .