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Analytical Heat Transfer
ρ w , T w = C
τ w
x
g
y
dP
dx
0
T ∞ , ρ ∞
FIGURE 9.1
Natural convection boundary layer from a heated vertical wall.
Momentum
∂u
∂u
∂ 2 u
u
+ v
= gβ(T − T ∞ ) + ν
(9.4)
∂x
∂y
∂y 2
Energy
∂T
∂T
∂ 2 T
u
+ v
= α
(9.5)
∂x
∂y
∂y 2
The following shows how to derive the above natural convection momentum equation from the original momentum equation:
∂u
∂u
1 ∂P
∂ 2 u
X-momentum u
+ v
= −
− g + ν
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y 2
From outside of the boundary layer 0 = −(1/ρ ∞ )(∂P/∂x) − g
1 ∂ρ
1 ρ ∞ − ρ
∼
∵ β = −
= −
ρ ∂T
ρ T ∞ − T
P
∴ ρ ∞ − ρ = ρβ(T − T ∞ )

∂P
1 ∂P

∴
= −ρ ∞ g ⇒ −
− g
∂x
ρ ∂x

1
g

= − (−ρ ∞ g) − g = (ρ ∞ − ρ) = gβ(T ∞ − T)
ρ
ρ