6.1 Calcul analytique du champ électromagnétique
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alors à l’équation scalaire (cf. annexe A.6) :
∂ 2 A
∂r 2 +
1
r
∂ A
∂r
+
1
r 2
∂ 2 A
∂u 2 = 0
(6.3)
Cette équation aux dérivées partielles bien connue admet une solution de la
forme
(1) [68] :
A (r , u) =
∞
l=1
n 1 l r
l + n 2 l r
−l
n 3 l cos lu + n 4 l sin lu
(6.4)
où n 1 l , n 2 l , n 3 l , n 4 l désignent des constantes réelles. Celles-ci seront identifiées
en exprimant les conditions de passage auxquelles le champ est assujetti à l’interface
entre deux milieux, conformément aux relations rappelées au paragraphe suivant.
D’autre part, compte tenu de la linéarité du problème, les composantes de rang l
qui figurent dans la solution résultent directement des harmoniques d’espace contenues dans les sources du champ. Si les fonctions de distribution correspondantes sont
à répartition sinusoïdale, la solution (6.4) ne comporte qu’un seul harmonique en u.
Le problème revient alors à identifier quatre constantes pour chacune des zones du
domaine d’étude.
À l’issue de cette identification, il suffira de prendre le rotationnel du potentiel
vecteur, conformément à l’équation (2.10), pour déterminer la distribution du champ
magnétique dans la structure. Dans le système de coordonnées cylindriques choisi, il
vient ainsi :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
B r =
1
r
∂ A
∂u
B u = −
∂ A
∂r
(6.5)
Il convient de noter que les équipotentielles de A définissent les lignes de force du
champ magnétique
(2) .
Dès lors, à partir de l’expression du champ, les grandeurs intégrales caractérisant
le système (énergie, flux magnétique, moment du couple, etc.) pourront être systématiquement déterminées, de même que les équations macroscopiques décrivant son
comportement électromécanique global.
(1) On peut aussi traiter le problème sous forme complexe en recherchant une solution du type :
A (r , u) =
+∞
l=−∞
n 1l r |l| + n 2l r −|l|
e j lu
avec n i (−l) = n ∗
il , afin d’assurer le caractère réel de A (le nombre n ∗ désigne le conjugué de n).
(2) La condition A (r , u) = cte impose :
∂ A
∂r
dr +
1
r
∂ A
∂u
rdu = 0
ce qui prouve immédiatement que B est tangent en tout point du domaine à une ligne équipotentielle
d’élément ds = drer + rdue u .
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alors à l’équation scalaire (cf. annexe A.6) :
∂ 2 A
∂r 2 +
1
r
∂ A
∂r
+
1
r 2
∂ 2 A
∂u 2 = 0
(6.3)
Cette équation aux dérivées partielles bien connue admet une solution de la
forme
(1) [68] :
A (r , u) =
∞
l=1
n 1 l r
l + n 2 l r
−l
n 3 l cos lu + n 4 l sin lu
(6.4)
où n 1 l , n 2 l , n 3 l , n 4 l désignent des constantes réelles. Celles-ci seront identifiées
en exprimant les conditions de passage auxquelles le champ est assujetti à l’interface
entre deux milieux, conformément aux relations rappelées au paragraphe suivant.
D’autre part, compte tenu de la linéarité du problème, les composantes de rang l
qui figurent dans la solution résultent directement des harmoniques d’espace contenues dans les sources du champ. Si les fonctions de distribution correspondantes sont
à répartition sinusoïdale, la solution (6.4) ne comporte qu’un seul harmonique en u.
Le problème revient alors à identifier quatre constantes pour chacune des zones du
domaine d’étude.
À l’issue de cette identification, il suffira de prendre le rotationnel du potentiel
vecteur, conformément à l’équation (2.10), pour déterminer la distribution du champ
magnétique dans la structure. Dans le système de coordonnées cylindriques choisi, il
vient ainsi :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
B r =
1
r
∂ A
∂u
B u = −
∂ A
∂r
(6.5)
Il convient de noter que les équipotentielles de A définissent les lignes de force du
champ magnétique
(2) .
Dès lors, à partir de l’expression du champ, les grandeurs intégrales caractérisant
le système (énergie, flux magnétique, moment du couple, etc.) pourront être systématiquement déterminées, de même que les équations macroscopiques décrivant son
comportement électromécanique global.
(1) On peut aussi traiter le problème sous forme complexe en recherchant une solution du type :
A (r , u) =
+∞
l=−∞
n 1l r |l| + n 2l r −|l|
e j lu
avec n i (−l) = n ∗
il , afin d’assurer le caractère réel de A (le nombre n ∗ désigne le conjugué de n).
(2) La condition A (r , u) = cte impose :
∂ A
∂r
dr +
1
r
∂ A
∂u
rdu = 0
ce qui prouve immédiatement que B est tangent en tout point du domaine à une ligne équipotentielle
d’élément ds = drer + rdue u .