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6 • Éléments d’une théorie des convertisseurs électromagnétiques...
Le champ d’excitation H pourra donc être considéré comme nul dans ces zones. La
simplification du problème portera également sur les sources du champ, courants ou
aimantations, qui interviennent dans la structure. Ces sources seront ramenées soit à
des densités de courant superficiels à répartition sinusoïdale, soit à des polarisations
magnétiques uniformément distribuées. Enfin, sans restreindre la généralité, le cas
d’une architecture bipolaire sera plus particulièrement considéré.
6.1.2 Formulation en terme de potentiel vecteur
Compte tenu de l’ensemble des hypothèses précédemment formulées, il est naturel
de chercher à résoudre le problème électromagnétique en terme du potentiel vecteur
A [67].
Considérant tout d’abord le cas d’un champ statique ou quasi-statique, on peut
omettre dans les équations générales formulées dans le tableau 2.2 les termes de
dérivée temporelle. S’agissant plus particulièrement de l’équation aux potentiels (cf.
tableau 2.2 (c)), l’opérateur d’alembertien revient dans ces conditions au laplacien
D (cf. annexe A.7), si bien que l’équation à résoudre s’écrit de manière générale :
DA = −m 0 j − rot J
(6.1)
(équation de Poisson).
S’agissant des champs variables à l’origine du phénomène d’induction électromagnétique, ils sont généralement appréhendés dans le cadre de l’approximation des
états quasi-stationnaires (cf. § 4.3.4). Ainsi, l’équation (6.1) peut encore être utilisée, à condition toutefois de noter que, outre l’effet des courants donnés, la densité
de courant libre j doit tenir compte des courants induits dans les parties conductrices. En vertu de la loi constitutive linéaire qui caractérise ces milieux (j = s e E)
et de la relation (2.8) exprimant le champ électromoteur en fonction des potentiels
(relations valables dans un référentiel de repos du conducteur), il apparaît donc au
second membre de (6.1) un terme en m 0 s e ∂A/∂t. La relation obtenue n’est autre
que l’équation de diffusion qui régit la distribution des champs et des courants dans
les milieux conducteurs en régime variable (dans le cadre de l’approximation précédemment évoquée).
Si l’on tient compte en outre des hypothèses simplificatrices adoptées pour les courants (superficiels) et les aimantations (uniformes), le second membre de l’équation
au potentiel est identiquement nul. Le problème est alors gouverné par l’équation :
DA = 0
(6.2)
(équation de Laplace).
Le champ B étant contenu dans un plan perpendiculaire à Oz (invariance par translation), le potentiel vecteur dont il dérive (B = rot A) est nécessairement dirigé suivant ce même axe. On posera donc A = Ae z , où A est une fonction des coordonnées r
et u. L’équation vectorielle initiale, exprimée en coordonnées cylindriques, se ramène
6 • Éléments d’une théorie des convertisseurs électromagnétiques...
Le champ d’excitation H pourra donc être considéré comme nul dans ces zones. La
simplification du problème portera également sur les sources du champ, courants ou
aimantations, qui interviennent dans la structure. Ces sources seront ramenées soit à
des densités de courant superficiels à répartition sinusoïdale, soit à des polarisations
magnétiques uniformément distribuées. Enfin, sans restreindre la généralité, le cas
d’une architecture bipolaire sera plus particulièrement considéré.
6.1.2 Formulation en terme de potentiel vecteur
Compte tenu de l’ensemble des hypothèses précédemment formulées, il est naturel
de chercher à résoudre le problème électromagnétique en terme du potentiel vecteur
A [67].
Considérant tout d’abord le cas d’un champ statique ou quasi-statique, on peut
omettre dans les équations générales formulées dans le tableau 2.2 les termes de
dérivée temporelle. S’agissant plus particulièrement de l’équation aux potentiels (cf.
tableau 2.2 (c)), l’opérateur d’alembertien revient dans ces conditions au laplacien
D (cf. annexe A.7), si bien que l’équation à résoudre s’écrit de manière générale :
DA = −m 0 j − rot J
(6.1)
(équation de Poisson).
S’agissant des champs variables à l’origine du phénomène d’induction électromagnétique, ils sont généralement appréhendés dans le cadre de l’approximation des
états quasi-stationnaires (cf. § 4.3.4). Ainsi, l’équation (6.1) peut encore être utilisée, à condition toutefois de noter que, outre l’effet des courants donnés, la densité
de courant libre j doit tenir compte des courants induits dans les parties conductrices. En vertu de la loi constitutive linéaire qui caractérise ces milieux (j = s e E)
et de la relation (2.8) exprimant le champ électromoteur en fonction des potentiels
(relations valables dans un référentiel de repos du conducteur), il apparaît donc au
second membre de (6.1) un terme en m 0 s e ∂A/∂t. La relation obtenue n’est autre
que l’équation de diffusion qui régit la distribution des champs et des courants dans
les milieux conducteurs en régime variable (dans le cadre de l’approximation précédemment évoquée).
Si l’on tient compte en outre des hypothèses simplificatrices adoptées pour les courants (superficiels) et les aimantations (uniformes), le second membre de l’équation
au potentiel est identiquement nul. Le problème est alors gouverné par l’équation :
DA = 0
(6.2)
(équation de Laplace).
Le champ B étant contenu dans un plan perpendiculaire à Oz (invariance par translation), le potentiel vecteur dont il dérive (B = rot A) est nécessairement dirigé suivant ce même axe. On posera donc A = Ae z , où A est une fonction des coordonnées r
et u. L’équation vectorielle initiale, exprimée en coordonnées cylindriques, se ramène