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7.3. Énergie relativiste
Cette notion d'invariance de valeur, quelque soit le référentiel, peut se généraliser à la notion d'invariance de forme (qu'on appelle la covariance) lorsqu'une
quantité peut être définie indépendamment du référentiel. Cela en est ainsi, par
exemple, des vecteurs usuels à trois dimensions qui peuvent être définis indépendamment du système de coordonnées choisi pour exprimer leurs trois composantes.
Dans l'espace-temps quadri-dimensionnel de la relativité restreinte, on ajoute une
composante temporelle aux vecteurs spatiaux usuels pour former des quadrivecteurs
(paragraphe 3.3.4). Ainsi, le quadrivecteur position se lit : (ct,x,y,z). Ces quadrivecteurs forment un espace vectoriel, appelé espace de Minkowski, mais les règles de
calcul (par exemple celle du produit scalaire) y sont différentes de l' espace vectoriel
usuel à trois dimensions (encart 7.6).
Pour qu'il y ait bien covariance, on peut montrer alors que les quatre composantes
de ces quadrivecteurs doivent obéir aux mêmes transformations de Lorentz que les
coordonnées d 'espace-temps dans un changement de référentiel. Très souvent, les
relations obtenues permettent de retrouver - presque sans calcul - les effets usuels de
mécanique relativiste, comme 1' effet Doppler ou la loi de composition des vitesses.
Exemple
Quadri-vitesse (définie comme la dérivée de la quadriposition (ct,x,y,z) par rapport au temps propre r) :
(7.57)
dont la transformation par changement de référentiel permet de retrouver la loi
de composition des vitesses.
En effet, soit un objet ponctuel mobile de vecteur vitesse v dans le référentiel
galiléen ~ et de vecteur vitesse v' dans le référentiel galiléen ~' en déplacement
uniforme par rapport à~ à la vitesse V= Vex suivant l 'axe (Ox). Soient aussi Yu, Yu'
et rv les facteurs de Lorentz associés respectivement aux vitesses v, v' et V. On passe
alors des coordonnées (r vc,y vvx,YuVy,yuvz) aux coordonnées (Yu'C ,Yv'V~ ,Yu'V~,Yu'v~)
par la transformation de Lorentz suivante :
Yu
1 C
= Yuv (rue - *YuVx)
Yv 1 V~ = Yuv (YuVx - *rue)
'
'Yv'Vy = YvVy
'
Yu'Vz = YuVz
(7.58)
dont la première relation Yu' = YvYv ( 1 - Vvx/c 2 ), reportée dans les autres équations,
redonne bien les formules de composition relativiste des vitesses vues au chapitre 5.
85
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quantité peut être définie indépendamment du référentiel. Cela en est ainsi, par
exemple, des vecteurs usuels à trois dimensions qui peuvent être définis indépendamment du système de coordonnées choisi pour exprimer leurs trois composantes.
Dans l'espace-temps quadri-dimensionnel de la relativité restreinte, on ajoute une
composante temporelle aux vecteurs spatiaux usuels pour former des quadrivecteurs
(paragraphe 3.3.4). Ainsi, le quadrivecteur position se lit : (ct,x,y,z). Ces quadrivecteurs forment un espace vectoriel, appelé espace de Minkowski, mais les règles de
calcul (par exemple celle du produit scalaire) y sont différentes de l' espace vectoriel
usuel à trois dimensions (encart 7.6).
Pour qu'il y ait bien covariance, on peut montrer alors que les quatre composantes
de ces quadrivecteurs doivent obéir aux mêmes transformations de Lorentz que les
coordonnées d 'espace-temps dans un changement de référentiel. Très souvent, les
relations obtenues permettent de retrouver - presque sans calcul - les effets usuels de
mécanique relativiste, comme 1' effet Doppler ou la loi de composition des vitesses.
Exemple
Quadri-vitesse (définie comme la dérivée de la quadriposition (ct,x,y,z) par rapport au temps propre r) :
(7.57)
dont la transformation par changement de référentiel permet de retrouver la loi
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En effet, soit un objet ponctuel mobile de vecteur vitesse v dans le référentiel
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uniforme par rapport à~ à la vitesse V= Vex suivant l 'axe (Ox). Soient aussi Yu, Yu'
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alors des coordonnées (r vc,y vvx,YuVy,yuvz) aux coordonnées (Yu'C ,Yv'V~ ,Yu'V~,Yu'v~)
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dont la première relation Yu' = YvYv ( 1 - Vvx/c 2 ), reportée dans les autres équations,
redonne bien les formules de composition relativiste des vitesses vues au chapitre 5.
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