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Chapitre 7 • Dynamique relativiste
86
Exemple
Quadri-impulsion (définie comme la quadri-vitesse multipliée par la masse m) :
Exemple
Quadrivecteur d'onde :
(7.59)
(7.60)
dont la transformation par changement de référentiel permet de retrouver les formules des effets Doppler et d'aberration vues au chapitre 5.
E CART 7.6 Espace-temps de Minkowski et tenseur métrique
L'ensemble des quadrivecteurs forme un espace vectoriel (à 4D) appelé espace
de Minkowski, où le produit scalaire de l' espace usuel à 3D est remplacé par le
pseudo-produit scalaire :
(7 .61)
La norme usuelle d' un vecteur est alors tran sformée en une pseudo-norme telle
que :
lla ll
2 = (a,a) = a~ - a~ - a~ - a~
(7 .62)
Exemple
tis
2 est la pseudo-norme du quadrivecteur (ctit,tix,ti y,tiz).
Une pseudo-norme au carré peut être nulle ou négative sans que le quadrivecteur correspondant soit nul (cf, par exemple, la quadri-impulsion d' un photon).
L'espace-temps de Minkowski n'est donc pas euclidien, comme l'espace habituel
des positions.
On peut réécrire cette pseudo-norme (au carré) sous la forme d' une multiplication
matricielle :
~s 2 = (cM.~x.~v.uf-I _ 1 _JW J
(7 .63)
D'une façon générale, en termes de composantes, le pseudo-produit scalaire des
quadrivecteurs a et b s' écrit:
(a,b) = L: gµv d1 bv
(7 .64)
µ ,v=0,1 ,2,3
où gµv est l'élément (µ, v) de la matrice diagonale apparai ssant dans l'expression
du ds 2 ci -dessus.
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Exemple
Quadri-impulsion (définie comme la quadri-vitesse multipliée par la masse m) :
Exemple
Quadrivecteur d'onde :
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(7.60)
dont la transformation par changement de référentiel permet de retrouver les formules des effets Doppler et d'aberration vues au chapitre 5.
E CART 7.6 Espace-temps de Minkowski et tenseur métrique
L'ensemble des quadrivecteurs forme un espace vectoriel (à 4D) appelé espace
de Minkowski, où le produit scalaire de l' espace usuel à 3D est remplacé par le
pseudo-produit scalaire :
(7 .61)
La norme usuelle d' un vecteur est alors tran sformée en une pseudo-norme telle
que :
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Exemple
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2 est la pseudo-norme du quadrivecteur (ctit,tix,ti y,tiz).
Une pseudo-norme au carré peut être nulle ou négative sans que le quadrivecteur correspondant soit nul (cf, par exemple, la quadri-impulsion d' un photon).
L'espace-temps de Minkowski n'est donc pas euclidien, comme l'espace habituel
des positions.
On peut réécrire cette pseudo-norme (au carré) sous la forme d' une multiplication
matricielle :
~s 2 = (cM.~x.~v.uf-I _ 1 _JW J
(7 .63)
D'une façon générale, en termes de composantes, le pseudo-produit scalaire des
quadrivecteurs a et b s' écrit:
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(7 .64)
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où gµv est l'élément (µ, v) de la matrice diagonale apparai ssant dans l'expression
du ds 2 ci -dessus.