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7.2. Quantité de mouvement relativiste
7.2.2 Principe fondamental de la dynamique relativiste
Par analogie avec le lien entre quantités de mouvement classique Pc1assique = mv et
relativiste Prelativiste = ymv, on peut réécrire le PFD sous une forme relativiste en
faisant intervenir le temps (propre) mesuré dans le référentiel lié à 1 ' objet en mouvement : ~~ = L:i fi, où les forces fi sont les forces relativistes associées aux forces
classiques Fi.
L'expression de ces forces fi peut s'obtenir simplement en considérant un référentiel galiléen particulier : le référentiel propre 'R' de 1' objet à un instant donné. La
vitesse de l'objet étant nulle dans ce référentiel 'R', il n'y a aucun effet relativiste (au
moins pendant un bref intervalle de temps) et le PFD s'exprime de façon classique
sous la forme ?i: = L:i F'i· où les forces F'i sont les forces classiques usuelles. En
utilisant le lien entre la coordonnée temporelle t' (qui est aussi égale au temps propre
T ici) et la coordonnée t, on peut montrer
1 que les forces relativistes f i s'expriment
simplement en fonction des forces classiques Fi sous la forme fi = yFi. Comme
~~ = y~~, le PFD garde alors une forme particulièrement simple en relativité restreinte :
(7.31)
pour un objet ponctuel de masse m soumis, dans 'R, à des forces Fi, ces forces conservant leur expression classique habituelle.
On peut aussi faire apparaître explicitement le vecteur accélération usuel a = ~;
en dérivant p = ymv par rapport au temps t :
dp = yma + mvdy = ~ F·
dt
dt
~ l
l
(7.32)
qui ne redonne l' expression (presque classique) yma = L:i Fi que pour des mouvements dont la norme de la vitesse v = llvll reste constante .
Un exemple important est le mouvement d' une charge q évoluant dans un champ
électromagnétique (E,B). Son mouvement obéit alors à l'équation suivante:
dymv = m dv + mv dv
v
= (E + v /\ B)
dt
'Y dt
dt c2 (1 _ v2jc2) 3 1 2 q
(7.33)
qui diffère del' expression classique usuelle par une correction relativiste d' un facteur
y et par un terme supplémentaire dépendant de la variation temporelle de la norme
d 1 ·
dv
e a vitesse dt .
1. L'expression relativiste du PFD et des forces agissant sur un objet dans un référentiel quelconque peut
s'obtenir beaucoup plus directement en utilisant la notion de quadrivecteur détaillée à la section 7.3.5.
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7.2.2 Principe fondamental de la dynamique relativiste
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faisant intervenir le temps (propre) mesuré dans le référentiel lié à 1 ' objet en mouvement : ~~ = L:i fi, où les forces fi sont les forces relativistes associées aux forces
classiques Fi.
L'expression de ces forces fi peut s'obtenir simplement en considérant un référentiel galiléen particulier : le référentiel propre 'R' de 1' objet à un instant donné. La
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moins pendant un bref intervalle de temps) et le PFD s'exprime de façon classique
sous la forme ?i: = L:i F'i· où les forces F'i sont les forces classiques usuelles. En
utilisant le lien entre la coordonnée temporelle t' (qui est aussi égale au temps propre
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1 que les forces relativistes f i s'expriment
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(7.31)
pour un objet ponctuel de masse m soumis, dans 'R, à des forces Fi, ces forces conservant leur expression classique habituelle.
On peut aussi faire apparaître explicitement le vecteur accélération usuel a = ~;
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qui ne redonne l' expression (presque classique) yma = L:i Fi que pour des mouvements dont la norme de la vitesse v = llvll reste constante .
Un exemple important est le mouvement d' une charge q évoluant dans un champ
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qui diffère del' expression classique usuelle par une correction relativiste d' un facteur
y et par un terme supplémentaire dépendant de la variation temporelle de la norme
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1. L'expression relativiste du PFD et des forces agissant sur un objet dans un référentiel quelconque peut
s'obtenir beaucoup plus directement en utilisant la notion de quadrivecteur détaillée à la section 7.3.5.
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