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Chapitre 7 • Dynamique relativiste
74
7.2 QUANTITÉ DE MOUVEMENT RELATIVISTE
7.2.1 Définition de la quantité de mouvement relativiste
Si la quantité de mouvement totale d'un système physique est bien conservée en
mécanique classique (section 7.1.2), l'encart 7.3 ci-dessous montre, sur un exemple,
qu'elle ne 1 'est plus si 1 'on utilise la loi de composition relativiste des vitesses établie
au chapitre 5. Un constat s'impose alors : afin de préserver le principe de conservation de la quantité de mouvement totale, il faut modifier la définition de celle-ci.
Comment ? En tenant compte, comme indiqué dans l'encart, de l'effet de saturation
des vitesses à travers le facteur y.
Ainsi, par définition, la quantité de mouvement d'un objet ponctuel de masse m se
déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel galiléen est égale à :
1 p = y ,mv avec Yu=
1
1
-)1 - v 2 /c~
(7.17)
Attention à ne pas confondre Yu, où v est la vitesse de l'objet ponctuel dans le référentiel
Aux faibles vitesses, le facteur Yu peut se développer en puissances de (v/c)
2
Yu = 1 + ~v
2
/c
2
+ ... , et l'on retrouve bien l'expression classique de p :
p ~mv
Sl
llvll « C
(7.18)
à des corrections relativistes près.
Même si l'exemple détaillé en encart ne joue pas le rôle d'une démonstration, on
peut tout de même souligner que cette définition est satisfaisante du point de vue du
principe de relativité. En effet, la quantité de mouvement classique Pclassique = mdx/dt
s'exprime en fonction de la distance dx, mesurée dans
ymdx/dt = mdx/dr fait intervenir la durée propre dr du mouvement dans le référentiel lié à 1' objet en mouvement, dr étant la seule durée qui ait un sens, en relativité
restreinte, pour définir la vitesse d ' un objet le long d'une trajectoire .
E CART 7.3 Mise en défaut de la quantité de mouvement classique
Il est particulièrement instructif de constater que la loi de conservation de la
quantité de mouvement totale (par exemple, avant et après un choc élastique
entre deux particules) conduit à une incompatibilité entre la loi de composition
relativiste des vitesses (obtenue au chapitre précédent) et l'expression classique
usuelle de la quantité de mouvement p = mv.
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Chapitre 7 • Dynamique relativiste
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7.2 QUANTITÉ DE MOUVEMENT RELATIVISTE
7.2.1 Définition de la quantité de mouvement relativiste
Si la quantité de mouvement totale d'un système physique est bien conservée en
mécanique classique (section 7.1.2), l'encart 7.3 ci-dessous montre, sur un exemple,
qu'elle ne 1 'est plus si 1 'on utilise la loi de composition relativiste des vitesses établie
au chapitre 5. Un constat s'impose alors : afin de préserver le principe de conservation de la quantité de mouvement totale, il faut modifier la définition de celle-ci.
Comment ? En tenant compte, comme indiqué dans l'encart, de l'effet de saturation
des vitesses à travers le facteur y.
Ainsi, par définition, la quantité de mouvement d'un objet ponctuel de masse m se
déplaçant à la vitesse v par rapport à un référentiel galiléen est égale à :
1 p = y ,mv avec Yu=
1
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(7.17)
Attention à ne pas confondre Yu, où v est la vitesse de l'objet ponctuel dans le référentiel
Aux faibles vitesses, le facteur Yu peut se développer en puissances de (v/c)
2
Yu = 1 + ~v
2
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+ ... , et l'on retrouve bien l'expression classique de p :
p ~mv
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(7.18)
à des corrections relativistes près.
Même si l'exemple détaillé en encart ne joue pas le rôle d'une démonstration, on
peut tout de même souligner que cette définition est satisfaisante du point de vue du
principe de relativité. En effet, la quantité de mouvement classique Pclassique = mdx/dt
s'exprime en fonction de la distance dx, mesurée dans
restreinte, pour définir la vitesse d ' un objet le long d'une trajectoire .
E CART 7.3 Mise en défaut de la quantité de mouvement classique
Il est particulièrement instructif de constater que la loi de conservation de la
quantité de mouvement totale (par exemple, avant et après un choc élastique
entre deux particules) conduit à une incompatibilité entre la loi de composition
relativiste des vitesses (obtenue au chapitre précédent) et l'expression classique
usuelle de la quantité de mouvement p = mv.