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Chapitre 5 • Effets relativistes sur les vitesses
56
relativiste aboutit à une modification des composantes v~ et v~ de la vitesse, à cause
du facteur dt/dt', c'est-à-dire de l'effet de dilatation du temps.
La transformation inverse s'écrit:
v' +V
X
Vx = - - - -
1 + Vv~/c
2
v'
V =
y
Y
y(l + Vv~/c
2
)
Vz =
v' z
y(l + Vv~/c
2
)
5.1.2 Loi de composition de vitesses parallèles
(5.5)
Considérons tout d'abord un mobile M dont la vitesse V par rapport à n est parallèle à
Ox. Les relations (5.3) et (5.4) impliquent que sa vitesse v' par rapport à n' est aussi
parallèle à Ox avec les relations :
v -V
v' = - - - -
1 - Vv/c 2
v' +V
v = - - - -
1 + Vv'/c 2
(5.6)
Si la vitesse v' de M par rapport au référentiel n' vaut c/2, et que ce référentiel
est animé d' un mouvement de vitesse V= c/2 par rapport à n, la vitesse v de M par
rapport à n vaut 0,8c au lieu de la valeur c que donnerait la cinématique classique.
La loi relativiste de composition des vitesses n'est donc pas une simple loi d'addition
des vitesses.
Utilisons ici le paramétrage par la rapidité introduit au paragraphe 3.2.4 (relation 3.7). Appelons respectivement a, a' et a R les rapidités associées aux vitesses
v, v' et V. On a alors :
tha' + thaR
,
tha =
= th(a + aR)
1 + tha' thaR
(5.7)
d'après une relation connue de trigonométrie hyperbolique. On a alors :
I
a = a + aR
(5.8)
Les rapidités, et non les vitesses, s'additionnent donc simplement lorsque les mouvements sont parallèles. Cette relation permet aussi de voir que lorsque V == c ou
v' == c, alors a' --7 oo ou aR --7 oo, ce qui entraine a --7 oo donc v == c : on ne peut pas
rajouter une vitesse, aussi grande soit-elle, à la vitesse de la lumière, qui est bien une
limite supérieure à toute vitesse possible.
5.1.3 Émission de photons par une source en mouvement
Considérons ici la lumière comme formée de photons, envisagés ici comme des corpuscules classiques se déplaçant à la vitesse c, et plaçons-nous dans le cas où ces
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Chapitre 5 • Effets relativistes sur les vitesses
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relativiste aboutit à une modification des composantes v~ et v~ de la vitesse, à cause
du facteur dt/dt', c'est-à-dire de l'effet de dilatation du temps.
La transformation inverse s'écrit:
v' +V
X
Vx = - - - -
1 + Vv~/c
2
v'
V =
y
Y
y(l + Vv~/c
2
)
Vz =
v' z
y(l + Vv~/c
2
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5.1.2 Loi de composition de vitesses parallèles
(5.5)
Considérons tout d'abord un mobile M dont la vitesse V par rapport à n est parallèle à
Ox. Les relations (5.3) et (5.4) impliquent que sa vitesse v' par rapport à n' est aussi
parallèle à Ox avec les relations :
v -V
v' = - - - -
1 - Vv/c 2
v' +V
v = - - - -
1 + Vv'/c 2
(5.6)
Si la vitesse v' de M par rapport au référentiel n' vaut c/2, et que ce référentiel
est animé d' un mouvement de vitesse V= c/2 par rapport à n, la vitesse v de M par
rapport à n vaut 0,8c au lieu de la valeur c que donnerait la cinématique classique.
La loi relativiste de composition des vitesses n'est donc pas une simple loi d'addition
des vitesses.
Utilisons ici le paramétrage par la rapidité introduit au paragraphe 3.2.4 (relation 3.7). Appelons respectivement a, a' et a R les rapidités associées aux vitesses
v, v' et V. On a alors :
tha' + thaR
,
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= th(a + aR)
1 + tha' thaR
(5.7)
d'après une relation connue de trigonométrie hyperbolique. On a alors :
I
a = a + aR
(5.8)
Les rapidités, et non les vitesses, s'additionnent donc simplement lorsque les mouvements sont parallèles. Cette relation permet aussi de voir que lorsque V == c ou
v' == c, alors a' --7 oo ou aR --7 oo, ce qui entraine a --7 oo donc v == c : on ne peut pas
rajouter une vitesse, aussi grande soit-elle, à la vitesse de la lumière, qui est bien une
limite supérieure à toute vitesse possible.
5.1.3 Émission de photons par une source en mouvement
Considérons ici la lumière comme formée de photons, envisagés ici comme des corpuscules classiques se déplaçant à la vitesse c, et plaçons-nous dans le cas où ces