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3.2. Transformations de Lorentz
On a ainsi L ;
1 (V) = Lx(-V). On peut, en outre, montrer que la composition de deux
transformations Lx(V) et Lx(V') est une autre transformation Lx(V"). L'ensemble
des transformations {Lx(V)} forme donc un groupe, le groupe spécial de Lorentz,
ayant L x(O) pour élément neutre.
Ce groupe est un sous-groupe du groupe de Lorentz total qui comporte toutes
les transformations entre coordonnées d'espace-temps de deux référentiels galiléens
quelconques. On montre en particulier que le groupe de Lorentz total n'est pas commutatif : L x(V) o Ly(V') * Ly(V') o L x(V).
3.2.4 Représentations dans l'espace-temps
La forme 3.1 des transformations de Lorentz semble compliquée, et on peut en chercher d'autres formulations. La linéarité de ces relations permet une écriture matricielle dans un espace à quatre dimensions, l'espace-temps ou espace de Minkowski.
On définit un quadrivecteur position E d'un événement E dans un référentiel ~ par
ses quatre coordonnées (ct,x,y,z), toutes homogènes à des longueurs. Au changement
de référentiel décrit dans le paragraphe précédent est alors associée une matrice de
changement de base :
E' = Lx(V)E
(3.4)
Lx(V) étant la matrice 4 x 4 :
y
-yV/c 0 0
-yV/c y
0 0
Lx(V) =
0
0 1 0
(3.5)
0
0 0 1
On peut aussi si mplifier 1 'écriture des coefficients de la matrice en introduisant la
rapidité a définie par:
tha = V/c
y vaut alors cha, d'où l'on déduit:
cha -sha 0 0
- sha cha 0 0
Lx(V) = Lx{a } = 0
0 1 0
0
0 0 1
Il est facile de voir qu'avec ce paramétrage :
(3.6)
(3.7)
(3.8)
37