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Chapitre 3 • Principe de relativité restreinte Transformations de Lorentz
38
3.2.5 Invariants relativistes
Les objets mathématiques qui ont la même forme dans tous les référentiels galiléens
sont appelés invariants relativistes. Ils jouent un rôle physique important en raison de
leur caractère intrinsèque. Nous en mentionnons ici quelques-uns. Nous en découvrirons d'autres dans la suite de ce cours.
Considérons tout d ' abord la quantité :
s2 = c2 t2 - x2 - y2 - z2
(3.9)
En utilisant (3.7), il est facile de voir que :
si l'on se rappelle que ch
2 œ - sh
2 œ = 1.
Cette quantité prend donc la même valeur dans tous les référentiels galiléens. Elle
n'est par contre pas toujours positive, et ne peut donc pas être utilisée comme une distance au sens propre. Nous verrons sa signification physique dans le chapitre suivant.
L'équation d ' onde (2.7) est invariante par transformation de Lorentz : un calcul
analogue à celui que nous venons d' effectuer pour s montre que si (2.7) est vérifiée
pour une onde A(x ,y,z ,t) dans le référentiel 'R, A' (x' ,y' ,z' ,t') vérifie de même:
(
I a2
a2
a2
a2 ) , , , , ,
c2 ot'2 - o x'2 - oy'2 - oz' 2 A (x ,y ,z ,t ) = 0
(3.11)
Une solution de cette équation dans le référentiel 'R est l'onde plane A =
Aocos(wt - k · r +if>), avec w
2 /c
2 - k 2 = O. Cette solution a la même forme dans
'R' où elle s'écrit A = Aocos(w't' - k' · r' + (3.12)
C ' est donc bien un invariant relativiste.